STIELTJES A HERMITE

Toulouse, r" novembre 1888.

Cher Monsiei b .

Hier soir, en réfléchissant encore sur vos formules, j'ai trouvé l'explication de l'approximation

En effet, en supposant x^>o, j'obtiens la formule

1 ■?* 3* 4* e e- e3 ew

„, \ cos\ix -f-i) arc tan £9. t:1 cos [1 ./— 1 1 arc tan^ -,' -1 = T(x : 1—2 l- j-j-y '-—■> ! .r+i

( .4--— 1 1 - (iÔ-^-HIj 2

l'iiskc -+- 1 1 arc t an- ;6 -I cos| x-i-i) arctansr8 — 1 ]

en sorte qu'on a en première approximation

2 cos [1 .r — 1 1 a ic tan g2Tr]

fonctions elliptiques

/ e-"-"- dx — / /( ;r ) c/j7 = - 1 / - > .'0 «- 0 2 y a

Veuillez bien excuser la précipitation avec laquelle j'écris ceci, je voudrais vous répondre avant mon départ pour Auch et, demain, je suis pris aussi par une a fia ire.

Dès que je le pourrai faire, je reprendrai le calcul de R(^r) — T(x-r-i) avec plus de soin pour x = 1, 2, 3, ....

LETTRE l'i'l.

Le cosinus, dans celle formule, explique bien les variations de signe qui se montraienl en considérant l»(.r) — r(x-j-i). J'obtiens celle formule à L'aide d'un résultai dû à Dirichlel

Vrt= - f /< i i cosnt dt,

- A0+ At+ A24- A3 + . . . =/(o) -+- a/( ait) + a/(4it) + a/(6it) -

Il n'y a qu'à prendre