STIELTJES A II ERMITE

Toulouse, i \ novembre 1888.

Cher Monsieur,

Voici l'exacte vérité concernant l'article de M. Lerch dan- les Acta. Le fascicule des Acta où se trouve ce travail, je l'ai entre les mains, il y a je ne sais combien de mois. Je n'y ai jeté alors qu'un coup d'œil et sans l'étudier à fond, les formules paraissant assez compliquées. Aussi, dans mon esprit, il n'en restait que ce souvenir un peu vague qu'il s'agissait d'une généralisation de la fonction Ç(s) de Riemann. Mais, lorsque j'ai rélléclii à l'expression asymptotique de votre fonction R(#), Vidée ne m'est pas venue un instant qu'il pourrait y avoir quelque rapport avec le travail de M. Lerch. Ce n'est qu'après avoir terminé mon travail et avoir remarqué l'analogie de la transformation dont je fais usage avec celle indiquée par Riemann pour obtenir la relation entre Ç(s) et Ç(i — s), que l'idée m'est venue d'examiner plus attentivement le travail de M. Lerch. C'est ce que j'ai fait lundi soir, après les examens de la licence. Et j'ai \u alors immédiatement que mon résultat doit être compris dans celui de M. Lerch, quoique je n'ai pas encore fait les calculs nécessaires pou)- le constater effectivement .

La généralisation de M. Lerch revient, en somme, à ceci qu'il considère au lieu de

ax ( a ■+- 1 )* (a-\--i)x

v CORRESPONDANCE d'HERMITE ET DE STIELTJES.

série procédanl suivant les puissances de -■> une série procédant

suivanl les puissances d'un nombre quelconque de module inférieur à l'unité el qu'il écrit sous la forme <■'■'' en supposant

Peut-être, -i au lieu de poser

on ;t\ ait posé

roc ~n -h li ~a-i-2b

• « • h • it-hO

qu'on serait amené à introduire

ax (a-\- b)x (a -+- zby

(, i (, i -ii r i ■ :<>

ce qui réalise ce qu'il v a de | >1 us essentiel dans la généralisation de M. Lerch. Mais le temps me manque en ce moment pour vérifier

ceci.

La comparaison de

(a --/>)'• ( a -h 9. b Ve

avec

Jf

// fe " '///

me fait supposer que la valeur asymptotique doit être alors ——, -

Si ces prévisions sont exactes, ne vaudrait-il pas mieux alors refaire mon article en considéranl

a'- {a by

Je crois que oui, mais je ne pourrai rédiger mon travail que dans quelques jours. Je \<>us le soumettrai alors pour y changer, si cela \mis paraît nécessaire, quelques mots dans l'extrait de vos Ici 1res qui y figurera.

J ai examiné, à Auch, un peu ce que vous m'avez dit de l'application de la méthode de Laplace à certains cas où cette méthode

donnerait «1rs résultats Inexacts. Je vous avoue que j'éprouve quelque difficulté à l'admettre, dans le cas

r>K.r\ (-> - — I — i — :>. ij cos ■>. r ; •< y ■ cos i /• — ....

le coeRïcienl de x" se mel sous la forme

et il me semble qu'il faut appliquer la méthode de Laplace aux expressions A et B séparément. Si l'on trouve alors, pour A et B, la même expression as\ mptotique (ce qui nie paraît liés probable), on ne peut rien conclure, ou plutôt on peut dire alors seulement (pie la valeur du coefficient devient très petite par rapport à A et à B. Mais, dans le cas