HERMITE I STIELTJES

Paris, il) novembre 1888.

MnN (III l; \ \i i .

La détermination, par la méthode de Laplace, de la valeur ;i-\ mptotique de la série

' ^^ ea+nb

lorsqu'on suppose x très grand, s'obtient facilement comme vous allez voir. Observant que les termes vont d'abord en croissant pour diminuer ensuite indéfiniment, on détermine le rang n du terme maximum en posant la condition

(a-hnb)x \a-\- (n — i \b]x

ga-t-ub ,

On en t ire en simplifianl

a + nb Y=ch

[ a -h ( n — i ) b J et, par conséquenl .

- nh h h-

(I où

Négligeanl les quantités en -> je prends

a i il — 1)0 — x >

ce qui donne pour l'expression du plus grand terme

Ceci posé, >oit T le terme de rang l avant le maximum, c'està-dire

La condition a H- nb = x + - permet d'écrire

loirT = x Ior ( x 4- — bl

et «le là résulte

logT — logX = a? log

Développons le second membre en série jusqu'au terme en /'-'. cl négligeant encore les quantités en —, on obtient simplemenl

logT — lo<rX = ,

8 n -xx

d'où

T = Xe »*.

C'est la même expression qui s'offre pour le terme de rang t, après le maximum et la valeur approchée de la somme sera donc donnée par l'intégrale

e 2x dx.

On trouve ainsi la quantité

- - W-ITZ.

be 2

Mais on a

de sorte qu'en négligeant — elle devient simplemenl

.r' *e-x\/zTZ V(x -+- i)

Votre prévision est donc complètement réalisée; il en est de même pour l'origine que vous avez eu l'idée de donner à la série l\(#), généralisation de celles auxquelles j'ai été conduit en employant les décompositions suivantes {Journal de Cvelle, t. Si).

286 CORHESPONDANCE l)'lIERM[TE ET DE ST1ELTJES.

Mais, c'esl ce que vous-même vous ave/, déjà dû reconnaître, el je ne m'y arrêterai donc point.

Mes sentiments de bien sincère affection.