I ./■ iiz J m (b -+■ iu

Mais cette transformation me semble bien exiger Partie réelle ■>■ i .

tandis que la formule (I) semble vraie, en supposanl Part ir réelle x o,

seulemenl je n'ai pas approfondi ce point.

J'avoue que je voudrais bien voir la démonstration que Cauchj lui-même a donnée, il nie semble probable qu'il a été bien près d'obtenir la formule

,lz.

s'il ne l'a pas obtenue effectivement.

Mais d'abord, je ne sais pas l'endroit où il doit avoir obtenu cette belle formule, et ensuite je n'ai pas à ma disposition ici tontes ses œuvres. Les anciennes éditions sont épuisées et j'attends avec impatience la uouvelle publication de ses œuvres complètes.

J'ai ;uis>i quelque» doutes sur ! expression de kn par M. Schlô- 1 1 1 1 1 • - 1 1 : l'intégrale a-t-elle un sens?

Il \ a ici encore quelques points obscurs pour moi et peut-être ne sera-t-iJ [>a> inutile de reprendre \oireidée et d'étudier l'application de la formule t I ) au développement de — - — -■

En vous renouvelant, Monsieur, I expression de mes sentiments respectueux, je suis toujours votre très dévoué.

P. S. - Je n'ai pas le loisir en ce moment pour rechercher si aussi M. Lipschitz dans son Mémoire n a pas obtenu cette formule I .'

156 — HERMITE I STŒLTJES.

I * .1 ii - , i" décembre 1888.

Mon cheb Ami,

M. Bourguet m'a chargé de vous communiquer If Mémoire qu'il m'a confié sur la théorie de l'intégrale eulérienne; nous le recevrez par envoi recommandé ci j'ai l'espérance que vous le

trouverez digne de votre intérêt.

Vous aviez effectivement écrit dans votre lettre du i'i novembre que j'ai sous les yeux

/ 1 11 T. 2 ll-ii ,

, cos arc tanjr— ; ;

au lieu de

/ 2 /lit a ntz a , cos 1 x arc lang — -. -. — )

toutes les difficultés disparaissent maintenant, mais la conséquence que je tire de la formule exacte en supposant b infini

izax~le-a /""cos (a? arc tanei- — ai-) .. = / — -d%,

ne fait que reproduire la formule de Cauchy que vous m avez indiquée, en y faisant b = i , k = x

eiaz (/z ■> nax-le-u

(î ■+- iz »■'• l'i x i

On a, en effet,

log( i -4- iz) — - Logi i-+-z*)-hi arctang-s,

ce qui permet d'écrire

, ,.,.- • ..rclaugc

'm,, CORRESPONDANCE I) IIIKM1TI 11 DB STIBLTJBS.

et, par conséquenl .

/•"*"" e'"z dz I {\ — iz )

cosi az — x arctang s i

dz + i

sini <i z — x air tans ^ >

ei vous voyez que, dans le second membre, la seeonde intégrale esl

nulle

La première forme esl même préférable, par exemple, pou en conclure immédiatement, au moyen d'une intégration par parties,

I équation

M. Lerch m'a fait part d'une méthode -impie et élégante, pour exprimer Qi a au moyen de la série généralisée de Riemann

( (O -i- Il tl

que je vais vous indiquer, pensant quelle vous plana comme à moi. M. Lerch prend comme point de départ cette relation

r ,, |Q [«)= / g-»(x-n)ar«-i-J Q(a) = / e-xxa~i d.r

et la i ransforme ainsi

.r"-' dr.

où m désigne une constante arbitraire. Puis il écrit

— X g— llll\X-\-\)

en posaul

LETTRK 157.

On a ainsi

l(,/)(jtl""l=2<..a.. .(« — ,./ -Sïssôîzt-^

or, on trouve facilement que

la relation précédente devient donc

.ai [ .3 . . . ( #1 — I )

= r(a)N (a -H #i — '2 )„! *(n)iR.(— « — /t -+- i ).

El, en changeant a en i — a, on en conclut

Q(a)=V(— i^-^a — i)a i«(n)Jl(a — #i) (#1 = 1,3,3, ...).

Ce résultat diffère un peu de celui que j'ai obtenu, en partanl de la (K'composition que j'ai employée

/ xa~1e-xdx = > / xa-le~xdx,

en transformant les intégrales par la substitution x ■ — co + n#i -h £, mais on le trouvera si l'on pose x = to + (n + i)#y — /, comme vous le verrez immédiatement.

Mes sentiments affectueux et bien dévoués.