Partie réelle x > o

ei que I i doil subsister ><>us cette condition. Cela me semble bien certain si par exemple .r e-u s 1 1 j > | > « > s « '■ réel. Mais voilà déjà un point que je ae peux pas préciser en ce moment, faute de loisir.

M ;i i - j'ai observé que la formule I I a an rapport très étroit avec

mi autre résultat dû à Cauchy. Dans le Bulletin de DarbouxJ

p. 35, 16, 1 88 1 , il \ a un résumé d'un article de M. Schlômilch

i. \\l\. de son Zeitschrift, p. io3-io6; i ,>s ~ w ' - J'en ai pris

note. D'abord on emprunte à Cauchy ce résultat

. i o a négatif,

(II) / -r- : y dz= ' ;T

.' , (6-t-ia)* / -— - ak~le-ab a positif,

en prenanl a h i. M. Schlômilch déduit du résultat

rX '.,=/'

le développement

kn=- — / __[Log(n-i\s )]*<**■

2 tu i . a . . . n J i — i :■

< )r. si I on prend b = i et qu'on suppose A~ réel, la formule II de Cauchy doit donner évidemment la formule (I) et encore cette généralisation obtenue par l'introduction de b n'est pas bien

essentielle... il suffirait de remplacer ; par ' et a par ab pour

déduire de I |

/ arc tan" ' — a ; I .

°i */ ax~x e-ab

el c'est là précisément ce (pion déduit aussi de la formule de Cauchy.

Vous voyez donc que M. Schlômilch a fail déjà, à peu près,

l'application au développement de = une vous aviez en vue,

LETTRE 1 55. 3ûJ

mais il esl instructif de retrouver La formule de Cauchj de cette façon.

Voici tnaintenanl une démonstration de cette formule de Cauchj qui se présente à moi en ce momenl même. Partanl de

z-*ez dz.

remplaçons v par a s

7T, — : = — • / z xeazdz.

I ( .'■) 2 7U J ^ oo

ou bien remplaçant ; par iz

ax-i i /' ea<~ dz T(cc) ~ -m J (i z F

le contour d'intégration étant

Soit z = </ — bi, b étant réel positif

2TÏ t/ (

eaiu du b -+- iu )x '

le contour d'intégration étant maintenant un lacet entourant les

points bi et -f- oOj\

Mais si partie réelle x > i l'intégrale est nulle et l'étendant par

302 CORRESPONDANCE d'HERMITE ET l»i: STIELTJES.

des valeurs infinies de u telles <ju«- le coefficient de i n'esl pas négatif. Dès lors, "il peul transformer le contour d'intégration de manière à ni. tenir le résultai de ( lauchj

<■"" du