HERMITE A STIELTJES

Paris, i'i février 1889.

Moin cher Ami,

\ otre nouveau point de vue pour obtenir l'approximation de

rb f(x\ l'intégrale / •-.- dx constitue un très heureux et très grand

* ii . \

progrè>. votre analyse devient ainsi plus lumineuse et je ne puis assez vous dire avec quel plaisir j'ai vu l'application que vous faites au cas de 'j>(ûc) = z — ./\ en établissant d'emblée que

DÏL„= ^ ., '^n{x) étant le dénominateur de la />>""« réduite du

développement de l'intégrale en fraction continue. Personne, certainement, n'a obtenu ce résultat extrêmement remarquable, que le terme complémentaire de cette réduite est le minimum de l'expression

f ^^"[n-afi (* — *)-+-•■ .+-**<* — x)n]*dx;

je ne sache pas non plus qu'on ait démontré que la limite soit nulle pour n infini. Quand vous aurez rédigé le Mémoire que vous

LETTRE K)H. 34l

préparez sur celle question, ne pensez-vous p;is eu détacher cette conclusion dans une Note pour les Comptes rendus.'

Grâce à vous, les ténèbres de mon <s| » ti 1 commencenl à se dissiper au su j «I des fonctions de deux variables ei de la façon dont il faut les définir en tant qu'uniformes, lorsqu'on envisage seulement les valeurs réelles. Les exemples que vous me donne/,

en considérant l'angle polaire 0, el la quantité /cos-, comme

dépendanl de x el y sont extrêmement lumineux, el nous me faites voir aussi très clairement comment l;i question se complique lorsqu'on considère certains domaines à l'égard des fonctions de trois variables.

En vous piiant de me rectifier si je fais erreur, je vous demanderai encore si l'on peut dire que la condition nécessaire el suffisante pour que f{ x, y) soit uniforme, dans un domaine D à contour simple, c'est que la fonction reprenne la même valeur lorsque les variables étant supposées représenter les coordonnées d'un point de D, ce point revient à sa position initiale après avoir décrit un contour fermé quelconque contenu à l'intérieur de D. Puis, peut-on en conclure que cette condition, remplie à l'égard de f(x,y), est remplie nécessairement pour toutes les dérivées partielles? Ou bien doit-on prendre pour définition d'une fonction uniforme

l'équation / df(x,y) = o pour un contour fermé G à l'intérieur

de D, en admettant que la fonction soit continue et finie à l'intérieur de D?

C'est ce que vous faites à l'égard des fonctions de trois variables, mais je resterai dans le cas de deux variables seulement, et alors il me semble bien qu'une fonction doit être considérée comme uniforme alors même qu'on admettrait, à l'intérieur de D, des lignes pour tous les points desquelles f(x, y) serait infinie, et des

points isolés qui lui feraient prendre une valeur indéterminée -•

La circonstance qu'il existe de telles lignes et de tels points n'empêche aucunement que la fonction reprenne la même valeur lorsque les variables décrivent des contours fermés qui les rencontrent ou les comprennent, mais il faut absolument renoncer à

l'équation / df(x, y) = o dans ce cas.

CORRESPONDANCE d'heRHITE ET DE STIRLTJES.

J'espère que vous comprenez bien que j'incline à trouver préférable une définition qui s'applique au quotienl de deux fonctions entières; en tout cas, je serais heureux de recevoir vos avi> sur un sujel de si grande importance el auquel je n'ai, pour ainsi dire, jamais songé jusqu'ici.

En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mes meilleurs senl iments.

STIELTJES i HERMITE

Cher Mowsiei r,

Toulouse, iii février i^i|.

Il me semble qu'il existe peut-être un léger malentendu entre nous concernanl la définition de l'uniformité d'une fonction réelle de deux variables.

Dans les conditions où Ton se place de l'existence | en général i des dérivées partielles, la valeur de

fd/(x, . i,

(jcay3)

étendue le long d'une courbe VIS. ne peut être que el par là il est clair de due que

il fi ./.r i = o,

sur mi contour fermé C, ou bien dire que /'(../■, i ) revient à sa valeur initiale si I on parcourt la courbe C es! exactemenl la même (diose, el cela indépendamment des singularités qui peuvent exister ou non à l'intérieur du contour.

El il semble aussi clair que si f\ ., ■. yj e>i uniforme dans un Certain domaine, cela entraîne nécessairement l'uniformité des dérivées partielles. Mais, si Ton voulail insister sur une explication là-dessus, je crois que l'on pourrait raisonner ainsi qu'il suit : Je

considère /i x, y ) et • . ' ' •

Faisons parcourir au poinl (#, y) la courbe ABCDA dont la partie DAB est recti ligne et parallèle à Taxe des \. On part de A avec des valeurs finies de

au point A (a?0, y0)

f(œ,y) -- I' et de

df(x,y)

il.r

Or la Videur de Q est

q = iim /^»-+-^ro)-/^», n)

A proprement parler, il faudrait prendre h positif, mais, d'après

l'existence même d'une dérivée partielle, on doit obtenir la même

valeur de Q, même en prenant h négatif.

Or, si l'on a parcouru le contour ABCDA, on revient encore

en A avec la même valeur P d'après l'hypothèse de l'uniformité.

Si donc on applique maintenant de nouveau la définition de la

dérivée partielle pour savoir ce qu'est devenue cette dérivée, on

obtient encore

f(xn-h/>, y^—fixo, "Ko) Iim ' : ; — : >

identique avec la définition de Q. Sommairement, comme dans l'hypothèse de l'uniformité, f(x, y) n'a qu'une seule branche, il en est de même de toutes ses dérivées partielles, par le fait même qu'une fonction bien déterminée n'admet pas plusieurs dérivées, ou autrement : la définition des dérivées ne laisse pas place à une ambiguïté.

Ainsi, il peut très bien arriver qu'une fonction soit uniforme et admette cependant des singularités. C'est ce qui arrive, par

344 CORRESPONDANCE d'BERMITE ET DE STIEI.TJKS.

exemple, à l'origine (x = o, y =. o) pour les dérivées partielles de cette fonction

j\.v,y) = e, par exemple * .

Ces dérivées son! uniformes, mais discontinues à l'origine.... Ces exemples montrent que le théorème de M. Kronecker u'esl pas une banalité.

Je vous avouerai que je n'ai d'abord rien compris au premier passage où M. kronecker énonce son théorème. En effet, l'essence du théorème es) d'affirmer l'uniformité de la fonction comme conséquence de l'uniformité de ses dérivées partielles (sous certaines conditions restrictives). Or, par inadvertance. M. Krouecker a d'abord énoncé son théorème en comprenant, parmi les conditions à imposer à /Y ./-,)-) V uniformité de cette fonction!! Kl comme il esl très succinct, je me suis inutilement efforcé à pénétrer dans le vrai sens de ces quelques lignes. C'est seulement après la lecture de sa seconde Noir i Berliner Monatsb., 1 885, p. 780) que j ai compris son idée. Il y redresse aussi l'inadvertance qui s'étaii glissée dans son premier énoncé de 1880.

Il n'en reste pas moins vrai qu'on doit appliquer avec beaucoup de circonspection certains théorèmes généraux sur les fonctions de deux variables. J'en ai rencontré cet exemple. Soil

Vous verrez directement que sur le cercle de rayon 1 autour de l'origine f(z) est purement imaginaire :

f(eiï) =— ùans-e.

Si donc je considère la partie réelle de f\ z

j ai là nue fonction qui satisfait à

dx*- ~*~ ~dy- = ° et (jui s'annule sur le cercle C. Or, d'après un théorème général,

LBTTRE 169. '■ i 5

une ici le lonction cp ne |»ciil s'annuler sur un cercle (ou contour fermé (|uelconque) sans s'annuler aussi à l'intérieur du contour. Le théorème semble ici en défaut, mais la raison esl celle-ci : La fbnelion <p(x,y) présente, au point ./ i} jy = o sur le cercle

une indétermination et l'on ne peut pas dire, à proprement parler, qu'elle s'y annule. On peul s'approcher de ce point de telle façon que cp tende vers une limite quelconque. Mais vous voyez qu'il suffit de bien peu de chose pour mettre le théorème hors d'usage. Il en esl de même pour le théorème de Gauss, que si sur une surface fermée dans l'espace on a

?0>.r, s) = const.,

la fonction cp satisfaisant à l'équation de Laplace

à- cp d- cp à2 cp ôx'1 dy'1 dz-

on a aussi, à l'intérieur de celte surlace,

cp = const.

Une simple indétermination sur la surface suffit pour détruire le théorème.

Permettez-moi de vous demander, en terminant, un renseignement. Dans le Journal de Crellc, t. 40, p. 296, vous vous exprimez ainsi :

« Ce qui précède indique suffisamment une infinité d'autres conséquences analogues, qui toutes viennent dépendre de la recherche difficile, d'une limite précise du minimum d'une forme définie quelconque. Là-dessus je ne puis former qu'une conjecture. Mes premières recherches, dans le cas d'une forme à n variables

de déterminant D, m'avaient donné la limite (4) [/& ', je suis porté à présumer, mais sans pouvoir le démontrer, que le coeffi-

cient numérique ( 4 ) doit être remplacé par • »

Je demande : a-t-on été plus loin depuis et votre limite présumée — "' < l'a-t-on déjà établie rigoureusement?

3'|6 CORRESPONDANCE d'hERHITE ET DE STIKLTJF.S.

Dernièrement, j avais à considérer une question où il m'importait d'avoir la limite exacte, aussi petite que possible. J'ai cherché mi peu partout, mais je n ai pas trouvé. Vous pourrez certainement me «lire ce qui en e>l .

\ euillez bien accepter, cher Monsieur, la nouvelle assurance de mon entier dévouement.

P. S. — Je vous enverrai ^ms peu. d'après votre permission, une Note pour les Comptes rendus sur la fraction continue

pour / / / .