STIELTJES A H ERMITE
Toulouse, le i \ fé\ rier 1889.
( au 1; Moasi 11 r .
Le théorème sur les fonction- de deux variables réelles, d'où M. Kronecker déduit comme corollaire le théorème de Cauchy, s énonce ainsi :
Soit J\.r.y) une fonction réelle des variables x, 1 telle que
diins un domaine I.) à contour simple (j ai peut-être omis cette condition qui est nécessaire ) les < I » ; t • i \ « '■ < • s partielles
<i.r dy
soieni finies et uniformes et admettent encore des dérivées finies (qui sont alors uniformes aussi uatureliement), alors la fonction /'{■('- >') ELLE-MÊME EST AUSSI NÉCESSAIREMENT I NIFORME.
En effet, il s'agit de démontrer
/ df(x, y) = o,
nom- un contour fermé C à l'intérieur de I). Mais C forme la limite
entière d'une certaine aire qui fait partie de I), et pour cette aire-là
,1 ,1 dx dy y
a une valeur finie, qu'on peut évaluer de deux manières en intégrant d'abord par rapport à x ou à y\ on trouve ainsi
/ — dy ou — / -j— dx (sur le contour C ),
J ày J J dx
et ces résultats étant égaux
/ dx dX^dy dy = / dj[T' y) = °' C' Q" F' IK
D'après ce théorème même il n'existe pas une fonction f(x, y) non uniforme dans D et dont les dérivées partielles seraient uniformes.
Mais considérons un domaine D qui n'est pas à contour simple. Si je considère un point P(#, y) dont les coordonnées polaires sont /■ et 0, on ne peut se refuser à admettre comme fonctions de x, y les expressions
J'( x, y ) = r cos - ').
La première est finie dans D..., mais elle n'est pas uniforme,
si P décril le contour fermé PQRP, fx.v augmente de >-. Cependant, comme les diverses déterminations de /i./.r) ne
diffèrenl que par des constantes, vous voyez que les dérivées
partielles ; • {- sont uniformes dans D.
1 dx ay
La fonction "... est une fonction non uniforme il une autre nature, ... elle admel deux valeurs qui se distinguent par le signe seulement, etc.
Du reste, si !«•-> analystes n'ont peut-être ]>a> fait beaucoup attention à ces fonctions réelles de deux variables non uniformes, mais donl les dérivées partielles peuvent être uniformes (cependant cela seulement dans un domaine D qui n est pas à contour simple), les physiciens (M. Helmholtz) en étudiant 1»' rn.ouvem.en1 des liquides ont été amenés aussi à reconnaître 1 existence de ces fonctions dans le cas de trois variables ■'■ v- s (').
\ oici la généralisation t\\i théorème de M. kronecker pour le cas de l'espace.
Si une Innrtion /'(.r, r, z) admet des dérivées
d£ of df dx dy Oz
qui sont uniformes dans un domaine D et admettent encore des dérivées finies i du second ordre de f). alors la fonction / ellemême es1 nécessairement uniforme dans D.
| i Voir le Mémoire d'Helmholtz inséré au t. 55 du Journal <!<> Crelle.
Pour préciser :
On du que /'est uniforme dans I) lorsque
I df(x, r, s) = o,
l'intégrale riant pris*1 sur une courbe fermée à l'intérieur de I).
IVIais ce théorème n'est vrai que si l'on suppose «pu- le domaine I ) est clc telle nature que chaque courbe fermée tracée dans I) peut, par un changement continu el sans sortir du domaine I). se réduire à un cercle infiniment petit. Cela a lieu, par exemple, si D est l'intérieur d'une sphère ou encore l'espace compris entre deux sphères concentriques.
Mais cela n'a plus lieu si D esl l'espace à l'intérieur d'un tore. Dans un tel cas, M. Helmholtz a remarqué l'existence de fonctions non uniformes, mais dont les déterminations ne diffèrenl que par des constantes, en sorte que les dérivées partielles sont uniformes, tout à fait comme la fonction f(x, y) = 9 de tout a l'heure.
Du reste, le même exemple peut servir; en posant
8 étant la longitude du point (x,y, z), c'est-à-dire l'angle du plan passant par Taxe du tore et du point (x,y, z) avec une de ses positions particulières.
11 est à remarquer que si Ion prenait la même fonction
dans le cas de l'espace compris entre deux sphères, cette fonction ne satisfait plus aux conditions, car l'axe qui sert à déterminer les longitudes passe alors en partie par le domaine D et en ces points 9 devient indéterminé y, ce qui n'arrive pas pour le tore. El, en effet, comme je l'ai dit pour l'espace compris entre deux sphères con-
,-. ,• ., T • < 1 df df Ôf ■ <
cenlnoiues, le théorème a lieu et l unilormile de -;— , -f- , — entraîne
1 ' il./- Oy az
l'uniformité de f.
y et les dérivées partielles cessent d'être finies et continues.
J'ai pu perfectionner beaucoup ma méthode d'approximation de
336 CORRESPONDANCE D HERJMITE ET DE STIKLTJES.
l'intégrale
dx(l).
En effet, ma première méthode conduit à une expression approchée avec Le tenue complémentaire
m*-m\. . .m-., Ja cp(a?)
fn(x) = /( x ) [ m - <p(a?)]2 [i "' i — <?< ./• ) |- . . . [ /«„, - cp (a:)]2. Je remarque que celle expression peul se mettre sous l<i forme
R,, = / i— — (i -+- ./', D — ./ -, cp2 -H. . . -+- ./\, o" i- '/./'.
Dans ma nouvelle méthode, je considère directement celte expression qui est une forme quadratique de /,. .v2, ..., xn. Je détermine xK vn parla condition que R„ soit minimum. En
posant
OR. „ = i — •' Vf — • ■ • — J n <?" :
les conditions sont
T /( x ) D)l n cp*- ' efcr ( * = i , -i n),
ou plus explicitement
3) ( ' ' CA= f(x)yt<dx, j ' -A
! C/j. ! -- c„ xx -+-. . .+ c2/,! :r„ = o,
Le déterminant de ce système linéaire est positif et différent de zéro, c'est en même temps le déterminant de la forme quadratique définie et positive
/ f\ r \ œ ./■ ii ./■; — a^jcp — . . . — xnvfn— ' )2 </./■.
(') Ce passage se rapporte à la letnc de Stieltje? qui manque, signalée plus liant. (.Xole des éditeurs.)
Les Xi étiinl ainsi déterminés, on a
/ f(x) cp(.r) T T
mais les termes avec xt: ...,xn disparaissent en vertu des relations (2) ; donc
3ïUn (/'■,
Soit donc
on aura
K„ ^ — (xtc0
t/.r H- .rj c0 -t- x-i Ci -+■ . . . -t- xn cn.
Ja <P<»
les équations (3) et (4) donnent
c0 c ct c
ce sera l'expression approchée par défaut. On doit avoir évidemment K„>-K„,; et, en effet, en considérant la différence K„ — K„,, on arrive (à l'aide des relations entre les mineurs d'un déterminant symétrique) à mettre K„ sous la forme
k\ Aj
C0 Cj
cn-
Ctn-
Soit
= i+*iip + A-2 =p2 ■4-. • • ■+■ *« T", R = /
S* «te,
338 CORRESPONDANCE u'ilERMITE ET DE STIELTJES.
les coefficients kK k„ étant arbitraires, on a
f l^Ù , § - DR „ ,2 ,/.r = R + R„ - 2 /* 4^ 3H „ S cl.r.
mais
/' ■' - - DR S rfr = / ^\ DR „ i i - / , n -t- . . . - k, cp" ) rf.r
donc
J„ ?(ar)
(S — OR „)2 dx> o,
montrant que R„ est réellement minimum.
D'après cela, si je considère
R„ = f li^l (l + Xl9 -+-... -h XaO^dx,
et
r1' t R«-i= / ^y— .O^jrf +... + y„-ri"-1ï2dx,
il esl clair que
C étant une constante quelconque. Mais si m et M sont les valeurs extrêmes de m, et si je prends
le facteur (i — Cs)2 ne varie qu'entre o et ( — -J , dom
R«< ^ R,iï
de même
M - m y Jfl <p(a?)
donc
limR„= o.
LETTRE 107. 33g
Un cas particulier intéressant est
z constante. Alors vous voyez direclemenl par les conditions (2) que Nl,i ne diffère que par un facteur constant du dénominateur ©„(#) de la fraction continue pour
donc
puisque, pour z — x = o, 011,, doit se réduire à l'unité. D'autre part, la valeur de KH est
c est-à-dire
®tl\Z)J„ z — x
c'est-à-dire que Krt est simplement la réduite d'ordre n de la fraction continue de
f tel ix.
On voit par là que le terme complémentaire de la réduite d'ordre n est Rw minimum de
/ - — : — [1-+- xx(z — x)-h...-+- x„(z — x)"]- dx. Ja z — x
Tant (jue les limites a et b sont finies, la démonstration de
limR/i = o
s'applique et montre que la fraction continue est convergente vers la valeur de l'intégrale. Le résultat relatif au terme complémentaire de la fraction continue est nouveau peut-être, il l'est en tout cas pour moi.
3'|0 CORRESPONDANCE DllEinilTE ET DE STIELTJES.
Mais vous voyez qu il sérail intéressanl de prouver limR„= o,
même dans 1«' cas que . = o. < )n prouverait alors en même temps
la convergence il*1 la fraction continue dans le cas où la liniile b = y~.. G'esl ce que, jusqu à présent, on n'a pu faire, en général, quoique pour certains cas particuliers comme /(a;) = .rA ■ e~x la convergence peut -<• démontrer par d'autres considérations.
\\;mi trouvé par ce <pii précède un nouveau point de vue . . je \cii\ un peu réfléchir là-dessus avant de publier ces recherches que je mettrai volontiers à la disposition de M. Camille Jordan.
J'espère que votre aversion pour l'Analyse passera. Sans doute nu tel étal d'esprit, qui ne m'esl pas inconnu, est ordinairement le résultai d'une Lrop grande fatigue.
Je vous renouvelle, cher Monsieur, l'expression de mes sentiments tout dévoués.
