STIELTJES A HERMITE
Toulouse, i5 avril i.S.Sj.
Cher Monsieur,
Je vais vous présenter quelques remarques très élémentaires : c'est votre grande bonté qui me fait espérer que vous les accueillerez avec indulgence.
Il y a quelques mois, vous m'avez fait remarquer que le coefficient du binôme (m)H est divisible par ., d étant le plus grand commun diviseur de m et n. Donc (2«)B, terme constant dans le développement de ( x H — ) > est un nombre pair. Mais je trouve
que ce nombre est aussi divisible par n -+- 1 . Voici quelques exemples :
C'est ainsi qu'il suit que j'ai été amené à cette remarque. Je
\oS CORRESPONDANCE 1)111 IUIITF. KT DF. STIELTJF.S.
considère la fraction continue
Il esl clair que la réduite d'ordre h a cette forme
x'>-i -4- a x"-'A -+- b .r"-5 — . . . x" ■+- a'xn-2-+- b'x"-'*-^. . . '
a. h. ...: a', b', ... élant des entiers. Donc, par La division, on soit que, dans le développement suivant les puissances descendantes «le x
F= ^ — — h— — ....± X" qr...
tous les A/ sont des entiers.
Mais
d'où Ton tire sans peine.
A„ = ( in |M .
.le n'ai pas cherché une démonstration purement arithmétique. J'ai commencé par dire que (p.ri)n est pair. mais, pour savoir au juste quelle est la plus haute puissance de i qui divise (2 /?.)„, je calcule les nombres
et j'ai la règle suivante :
Si, parmi les nombres
(dont le dernier est i) il y en a À" qui soient impairs, alors 2* est la plus haute puissance de a qui divise » 2/î ■„.
D'après cette règle, si je suppose n = 2* — i , j'aurai
ni='2ie—l — \. n-i= ■iK'-- — i. .... /2/,-i = 21 — i;
LETTRE 19k.
4og
donc, dans ce cas, •>.*= n + 1 est La plus liante puissance de 2 qui
divise (î/i)n, c'est-à-dire le nombre A„ est impair. J'ajoute que
Ions les autres nombres A„ sont pairs.
En effet, d'abord si n est pair, A„ l'est aussi parce « | u<> 1 2 n )n esl
toujours pair. Je n'ai doue qu'à considérer le cas où n est impair
niais point de la forme 2* — 1 .
Ainsi, on aura
n — ir m — 1 ,
m étant impair et au moins égal à 3. Cela étant, on a
nt = ■>.''- l m — 1 , n-> = a''-2 m — 1 ,
pair et d 2.
Donc, dans la série
il y en a au moins / + 1 qui sont impairs, savoir les /• premiers et le dernier. Donc, si is est la plus haute puissance de 2 qui divise (2n)n, on a
s 1 r -+- 1 et n -4- 1 = 2'' m ;
donc Aw est pair.
Voici une curieuse génération des nombres A„. Je forme le Tableau suivant :
4io
COIIRFM'i'MuMH I) HEIOIITE KT DE STIELTJES.
il après la règle suivante : Soit la colonne verticale à l'en-tête
ci avant
pai
on en déduit
/; impair
\ ous voyez figurer dans la première ligne horizontale les
nombres A„, mais ce <]ui est plus curieux 1<' voici : Prenez la somme des carrés des nombres qui se trouvenl dans une colonne verticale, on retrouve la série
i, i, >-, "), il, 4'»., i32, >'\>\), i i '■:<>, |SC)>. 16796,
= A0, A], A2, Aj, Av, A:;. A,,. \7, A8, A,,. \, .
Mais ce n'est là qu'un cas 1res particulier d'un autre résultai que j'ai obtenu en considérant ce problème.
Etant donnée une fraction continue
Cs
en déduire le développement
__ An Al A a . h. H
F = — H r — • ■ • -+- — l )" —r^ZT -+"
J'ai été surpris de voir qu'il restât encore à trouver quelque chose sur un sujet aussi élémentaire.
On s'assure aisément que Aw est une fonction entière homogène de degré n + 1 des quantités c0, ci: ..., cn, les coefficients étant entiers et positifs.
La solution que je propose est renfermée dans les deux théorèmes suivants :
Théorème I. — La forme quadratique
est égale à
-+- c0 c, c, c3 c4 f y2 \2 -+- Ys X3 -H . . . ] 2
-I- C0 Ct C.,C:iCtC5C6[ 03X3-(-. . .]-
! I ' CORRESPONDANCE DHKKMITK ET DE STIKLTJES.
Théorème II. — L'i forme quadratique
est égale à
7 7 h-i+ki-i XjXa
c.Ci | a0 \n — *i X, -+- a, X, — X3X3 — . . . J2
-4-CoC,C2C3| 3,\,-t- 3o\»-f- 33\:, — ...]2
Les coefficients
Ph p2i pSi
(qui tir sont pas les mêmes dans les deux théorèmes) peuvent être considérés comme connus, on les calcule à l'aide de relations récurrentes d'une grande simplicité.
En effet, si je forme le Tableau suivant :
Ci Ci-hC»
ÎH-CiC2
C'j— (j-;- 2C! C2— <j r . Cf -+" 2Cf C2 -H Ci C| -+- Ci C-2 C%
cf-i-c|-7-3Ci C2-H2C2C3-l-C§+C3Ct
Ci -r- Co H- C3 -i- C4 -+- C3
(I après la loi sm\ ante
on déduit
T -+- cr, o
impair
on déduit
Cela étant, si j'écris à part les colonnes de rangs pair et impair
'xi
Pi
Pi
Pa
Va
j'ai, dans le premier cas. les coefficients qui figurent dans le théorème 1. dans le second cas, les coefficients qui figurent dans le théorème 11.
Si, dans les deux théorèmes, je ne considère queles termes avec les carrés des variables, j aurai
A2 — '■„(■] — C0Ci r,.
A3 = CoCil cj + c2 I2 — '■-,<-, '.'■;
A; = '■„''•] -H r,r, |2, Co Cj C2 I Ci — C2 — C3 r — C0C, C2C3C4,
A5= c0c, (c\ - : tc1c2-4- c2c3 -
— CoCiC2C3| C, — C2-+- C3-f- Ci )2-+- C0C, c.r ,, , , .,.
Vous \ovez que si l'on a poussé le Tableau (1 1 jusqu'à la colonne n on peut écrire immédiatement les valeurs de A0, A, \„.
Mais vous voyez bien maintenant comment mes recherches sur les fractions continues m'ont amené, de la manière la plus natu-
LETTRE 195. I l5
relie, à considérer ces nombres -4,,= (2/1 )« dont j'ai voulu
vous entretenir.
En vous renouvelant, cher Monsieur, l'expression de mon attachement bien sincère et très dévoué.
