HERMITE 1 STIELTJES

Flanville, par Noiseville (Lorraine), 17 avril 1889.

Mojn cher Ami,

\ otre lettre, qui m'intéresse vivement, me parvient en Lorraine où j'ai été appelé par un deuil de famille, comme je vous l'ai écril avant de partir. Je m'empresse de vous informer que, dans l'un de ses nombreux Mémoires dont je pourrai, s'il est néeessaire, obtenir l'indication en m'adressant à lui-même, M. Catalan a obtenu la propriété du coefficient binomial {'in)„ à laquelle \<>u> avez été conduit. De quelle manière l'a-t-il démontrée, je ne le sais, mais voici la mienne. Considérant, en général, l'expression

m (m — 1 ) . . . ( ni — n -+- 1 ; ( m )n = - —,

je désigne par 0 le plus grand commun diviseur de m -+- 1 et /i, et je pose la relation

où A et B sont entiers. Cela étant et après l'avoir écrite ainsi

je multiplie les deux nombres par le facteur

ce qui donne facilement

nu m — [)•••( m — n -+- 2 ) &

En représentant par E le second membre qui est entier, on a

4l() CORRESPONDANCE d'hERMITE II DE STIELTJKS.

(lune

1)1 Il I

cl vous voyez ainsi que i m •„ esl divisible par - — ^ — — • Soit

ni = ' //. les entiers ■> . // — i el n son! premiers entre eux, o = i ei le coefficient (2/i)w est effectivement < li visi ! >le par ji-|-ij mais votre méthode, tirée d'une identité algébrique, est puisée à la vraie source des plus importantes propriétés des nombres. Je vois avec infiniment de plaisir combien vous avez heureusement profité du rapprochement si original el dont personne n'avait jamais eu l'idée (\<- la décomposition en carre- des formes quadratiques à \]n nombre infini d'indéterminées avec la théorie des fractions continues algébriques. Le Mémoire auquel vous travaillez sera extrêmement intéressant, on se rappellera peut-être en vous lisant, qu'autrefois, il v a bien des années, les fonctions" V, Vt, V2, ••• du théorème de Sturm, qui onl pour origine un développement en fraction continue, ont été .iiis-i rattachées à la décomposition en carrés d une forme quadratique, mais ces questions sont maintenant si loin de moi, qu'il me faudrait pour v revenir un effort que je n'ai pas le courage de faire. Et puis je vais tacher de rédiger les applications de la méthode de Laplace dont je dois faire un article pour l'Institut de Bologne. En comptant au besoin sur vous, mon cher ami, pour ce travail si quelque chose survient qui me fasse obstacle, je vous renouvelle, avec mes félicitations pour tout ce que vous venez de rencontrer, l'assurance de mon bien affectueux attachement.