HERM1TE A STIELTJES

Paris, 5 mai 1889.

Mok cher Ami,

J'ai donné dernièrement, dans une leçon, pour origine à la série de Gudermann, qui a beaucoup attiré votre attention, l'intégrale

r° ,e'(t — i)-t—>. , J = / eat— —- — - dt.

En employant l'identité

= 1 -+- e' ■+■ . . .-+- eK

on obtient, en effet, une somme de ternies représentés par l'inté-

grale

avec un terme complémentaire

/ e[a+"H 7TT-, x dt

qui reproduit La quantité J en > changeanl a en a-\-u. Comme on ;i J=-— , où z est -< 1 , le terme complémentaire a pour

limite supérieure et devient nul pour n infini, ce qui

démontre la convergence <le la série

2[(«-H*+i)l0g('.+ Ji-Jt)-.] (A = Of. ,»,...)■

Je suis peu satisfait de ee que dit M. Serret dans le second volume de ses Leçons, pour démontrer directement cette convergence. Il me semble nécessaire, en restant dans le cas de a réel et positif, d'employer le développement

»<*<. + ■*■) = *— g + g- jc-To*)* (0<,) qui donne pour limite supérieure du logarithme la quantité

On trouve facilement

a -+- k -r - ) log ( 1 -+ — T

i2(a-t-£)2 6(a-+-ky

d'où une somme de deux séries convergentes, pour limite supérieure de la série proposée.

Vous m'avez bien surpris en m'apprenant que la forme quadratique

appartient au type 7 Ai+aX,-Xa, dont vous avez le premier reconnu

l'importance; il en esl de même évidemmenl de celle-ci