STIELTJES A HERM1TE

Toulouse, •>-] avril 1889.

Cm: 11 Monsieur,

Il y a certainement des rapprochements ;'i faire entre mon travail et les travaux classiques sur le théorème de Slurm et sur votre méthode. La forme quadratique

F= — - — (X0-4-«Xi-t-a2X2 + ...)2

(X0H-ôX1-+-6*X2-f-...)2

est aussi de cette forme particulière j A^X/X^-, le coefficient de XjX*. . . dépendant seulement de i -f- k ", et je remarque encore que le point de départ de mes recherches est la recherche du

minimum d'une intégrale

rf du . . „ , ,

[i -+- ai(x — u ) -h a-2(x — a)2 H-. . . -t- an(x — u)n\ au;

c'est peut-êti'e aussi à rapprocher de l'expression F. Mais nous voilà à peu près arrivés à la fin des vacances et, mon travail ayant pris plus d'extension, il me reste encore beaucoup à faire.

Je ne crois pas me tromper (mais je n'ai pas en ce moment la bibliothèque à ma disposition) si je me rappelle que votre remarque sur l'application de la série de Lagrange au développement de x suivant les puissances de t ayant f{x) = f(a)e~l* se trouve déjà dans l'exposition même de Laplace de sa méthode.

Voici une curieuse identité algébrique que j'ai rencontrée chemin faisant. Parmi mes fractions continues est la suivante :

e~x* dz

j 2 | CORUESPONOANCE D HKRMITK ET 1)F. STIKLTJES.

pour a = i . 2 . on retombe sur les deux premières que j ai obtenues, cette formule est même renfermée dans une autre où figurent deux paramètres a el b.

Mais je prends a= — n. n étant entier et positif, alors

Je ne crois pas que ce soil facile à démontrer dune autre façon.

II me faudra encore beaucoup de travail pour coordonner les résultats que j'ai obtenus et surtout pour m'assurer qu il n en reste pas d'autres qui m'auraient échappés, de manière à avoir un ensemble à peu près complet.

En vous renouvelant, cher Monsieur, I assurance de mon entier dévoûment, je suis toujours votre très reconnaissant.