m.im

m'"-1 sin mt — m\ (m — -i)'"-1 sin ( m — 2 ) / -I- m-2 ( m — 4 )'"1 sin ( m — \)t — ... ;

'(3o CORRESPONDANCE D'HRKMITE ET DE STIELTJES.

cette quantité Tm a pour maximum

U,„ = mm—1 — mil m — ■> . t'"-1 — m^i /// — j )"'-' -+- . . . — »iui /// — 2(jl)

UL etanl I entier contenu dans — et il s ag-it <i obtenir, pour /// lies

grand, la valeur approchée de— — -: c'est-à-dire de la

série

en posant

mr{ m — >r !'" '

^ v 7 1.2. . .m.im->

J'introduis dans ce but, au lieu «In nombre entier /•. une variable x\ je fais pour cela

De cette manière, une valeur approchée de S esl donnée par

I intégrale définie / f(x)dx, qu'il s agit dévaluer elle-même

par approximation.

Admettant, comme le dit Laplace, que les termes de la série S vont d'abord en croissant et qu ds ont un maximum après lequel ils diminuent; je cherche ce maximum en posant f'(x) — o. Les expressions asjmpto tiques de T(x -+- i ) et r(//* — x -\- 1) me donnent d'abord

( A ) ■—;. — -( = — log.r -+- lo

/(x) ■>■'• — m ix -2{x — m)

Je néglige les deux derniers termes; je remplace - ' par

et je trouve, pour déterminer le maximum, l'équation de

•ix — m

la Mécanique cri es te

= loi

qui admet une seule racine x = ç = o,o83 oj m. Cela étant, je dis

qu'aux limites x = o, x = jjl, les quantités

sont Tune et l'autre très petites. On a, en effet,

,/'( o ) / m y»-' ng-n)

et la valeur E = o,o83 07 m montre que le l'acteur ■=—- décroît,

quand m augmente, bien plus rapidement que n'augmente la puis-

(ffl \ ni— 1 fi u) :=(i. 2. ..)'"'• Quanta lLFT^: c est zer0 ou

— — — . mais celle remarque a peu d'importance,

r(fjn- i)T(m — fx-t-i) l r '

comme vous allez voir. La propriété de la fonction /'(./) de n'avoir qu'un maximum entre les limites de l'intégrale conduit naturellement à employer, pour obtenir cette intégrale, la méthode du calcul des probabilités en posant

Soient t = — g et t = -\-h les valeurs de t qui correspondent aux limites x = o et x = u., nous aurons

/ J\x)dx = fK\) e~»dt.

Cela étant, si l'on se borne à employer le premier terme seulement de l'expression de dx, qui est i / — *{ , dt, ce qui donne

la Quantité

on observera que l'intégrale définie tend, avec une extrême rapi-

dite, vers sa limite / e~r' dt = \Jtz et en diffère fort peu, même

pour des valeurs médiocrement grandes des limites g et h] de sorte qu'on obtient, pour l'expression approchée,

|32 CORRESPONDANCE d'hERMITE II DE ST1ELTJES.

Observez maintenant que l'équation (A) donne, en négligeant

les termes en = et -

on en conclut

. /— , . i '" - 2S)/t(/n- \ i (je)'"(;n — 2; i"'

m \l m i / 2it v//»3 :*< "> — ; )»>-%

Faites comme Laplace ; = m ta, cette quantité devienl

i [ e ( i — 2 tu ) 1 '"

~~ 2 v .-///'• I aw(i — w)1 w I

ou plutôt en représentant par K. comme fait, je crois, M. Tisserand, la hase des logarithmes népériens

~ 2 i/ïï i/JH* |.2co(r-oj)i- "» J

La règle de eomergence lim \. J << i nous donne dune la conclusion de la Mécanique cri este

Tout à vous bien affectueusement.