n)«jp2rt
= ' / ^2" lOC ; ^r 7 cte
(o^ftli), doù vous vo^yez que »2n+<(^) a lin signe constant dans l'intervalle (o, i) et que sa valeur absolue croît de o à -» décroît de - à i ,
en repassant parles mêmes valeurs. Cette valeur de »2«+i(^) do*1 revenir au fond à celle que vous avez donnée dans le Journal de
Crelle, t. 79. Pour b= - on retombe sur la formule nuise trouve
dans votre dernière lettre.
La formule de décomposition dont j'ai fait usage est une consé-
LETTRE '201. \ i 3
i| Mince de
eaz | v^ 2^ cos(2«A:tt) — 4 /> ^ sin ■.>.«/ t . . ^
= h > ; (O < il < I ).
e»— i «Ai z2-MÂ-2ir2
Voici un système complet de formules
ehx -+- e~bx i v^ ( — i)*a.r cosbkiz , ,, , ^
— — = >(— 0*-1 — ; — y-r- -i<6<+ij.
e* +e~* AT .7-2 -+- ( /C - I )2 7l2
e6a e-6a: ^, aa. sjn ( £ 1) /, -
11 y a naturellement une formule analogue pour le développement de
Pu/ +6)
\ otre très dévoué.
P. S . — Je viens de recevoir votre lettre et je m'empresse de
répondre. A uns me faites beaucoup d'honneur en voulant insérer
mon résultat dans \otre Cours, seulement j'ai obtenu la limitation
plus simple
a = Re*8 (— ic < 6'<+ %),
iniHiJ(a) < t— >
12R cos2f 8
ce qui, pour le cas a réel positif, donne
C'est donc cette limitation
inod J ( a) <
12 R cos2!1 que je vous prierai de mentionner.
\ oici la démonstration
Pi v) dx
ce qui donne la série de Gudermann
J(a)=2l[(a + /, + l)]og(a^^I)-i],
mai> aussi
/ — dx=l — dx — /
Jn x-ha Jn t - a Jn + ±
En posant dans la première intégrale x = n +jk, dans la seconde x = n -f- i — y. il vient
/" + ' n ■+- i — .?• /*« A- ( i — 2 .x )2 dy
a -+- x ' X ~~ X ('i-+-jKH-a)(yi-M— y -+-«)'
(i — lyydy
(n—y-h a)(/i— i — y-h a) = (/n- «)(« -4- tf-t- i) -1-^(1—7);
(loue, dans le cas c/ réel positif,
J ( a ) < / (i-îv)2 dv 7 ; >
c'est-à-dire
Mais suit
a = Ré*® (— - <0 <-h tc),
/* — t— jk et /i -r 1 — jK sont toujours réels et positifs; or, lorsque b est réel et positif,
mot! ( b ■+■ a) = v/(6 •+■ R)2 cosHG -H (6 — R)2sin2|0, modi b — a )> (6-t- R) cos£0.
LETTRE U20H. Il'
Ayant ensuite
iniiilj rt s 7 I ~i 71 — '
' 4dJ mod(n -\-y-*-a)(n-\r i — y -+- " i
il vient
•« {(' — '*.y)%dy
)<1 J « < - i— X / n~T7 Ti^ »
c est-a-dire
modJ(a)< — 1— J(R) cosHG
et a fortiori
mod .) ( cm
î-iRcos- : 0
Il va sans dire que cette limitation se rapporte à la continuation analytique de
dans le cas où P. H. a serait négative
