STIELTJES A H ERMITE

Toulouse, 17 ni.ii 1889.

Cheb Monsieur,

En réfléchissant sur ce que j'ai griffonné hier soir, je sens le besoin de m'expliquer plus clairement afin de vous épargner la

peine de débrouiller cette lettre trop confuse. Je reprends donc la formule

en exprimanl les fonctions logT par la formule

dx

■ „ / x /' " r <'~x — e~ax 1 dx

et

/• °° , dx

on trouve en posant

e "•'• dx I <r - ' -h e y - — e2 — e 2

Maintenant, je vais supposer

sons celle condition

i,. ],. /■ ' — x'1 -^- f\ k- tz-

ce qui donne

J = / 2 e-a.t dx > —r-nr~ ~ '

ou pour

x— -ik-y,

rx dy v^ ( — 0A cos(-i6 — i )Xr7t — r . ,

J = / — - — > —, '- e—lak^y.

Or

' I / ON ' . I o

- Iog(i -+- ir cosa -+- r2) = r cosa r2cos .«a -+- - z-3 cas 3 a -h. . . .

'l i •'. CORRESPONDANCE D'nKRMITE KT DE STIEI.TJES.

En posanl

on trouvera facilement après quelques réductions

Il suffit de remarquer que la fonction

i — 2e-2<"Ir cos(2Ôir i + e-'+aT-y

esl toujours i. donc son logarithme ^o, pour voir que la série obtenue par le développement de J a I*1 même caractère que la série de Stirling; posanl ay=xi

i /*" a dx . Ti — 2e 21u cos ( 2 6 tc ) -l- e-4*"! ~^TtJ0 «24-tf2 °g[~ (i — e>-2-*^ — J

fii développant

«--H.T'1 « a' aa

du obtient par comparaison avec la série 'Ox(b) i.2.<p3(6)