STIELTJES A HERMITE

Toulouse, 28 mai 1881).

Cher Monsieur,

bn travail urgent (rédaction d'un rapport annuel sur l'état de l'Observatoire de Toulouse) m'a fait remettre pour quelques jours de répondre à quelques questions qui se trouvent dans nos deux dernières lettres. Comme nous le remarquez, on peut écrire, au

lieu <le

CORRESPONDANTE II HKRMITE ET DE STIELTJES.

J(a)= / f- ./• ) | ii a — i — a?) — ty(a-\- x)] dx,

: x i - T-iogr(af).

Déjà, en 1886, j'avais rencontré pour J(«) des intégrales avec la fonction <jj sous le signe / > par exemple, aussi

rf-r,

G = < > . . > — >... ei «es intégrales sonl valables dans tout le plan excepté la coupure de o à — yz. Mais je n'avais pas réussi alors à en déduire la formule de Stirling, ce qui n'est pas difficile pourtant et j'avais complètement perdu de vue ces expressions, jusqu'à ee que le travail de M. Bourguet m'y ait ramené.

Voici une remarque d où l'on peut déduire directement la formule

1 — >.e~'2~y cos'iby -+- e~'*T,-y

(A 1 — log

1 1 1 f"° a dy \

= - tO£,r<7 / tOg

2 >-Jo a* -h y* ■ l 11- e-- -

soit l> une constante réelle el posons

/, x 1 = IVr — A. fi./ — 1 — b).

Je dis que lorsque // est réel on peut exprimer modf(uî) par les fonctions élémentaires. En effel

hhkI y'i «i 1 = /r(6 -+- «7; T(i — b -+- ai ) r(6 — ai) r(i — è — ai),

r(è — ui)T(\ — b — ui ) = —. —^ - ,

-m - 1 // — ai)

I' A — ui) \( 1 — b -+■ ai 1

«in-( è — ai 1

LETTRE "21*2. |5 l

d'où

iu(Miy'( ni) = — — ;

\/s\m:(b -+- ui) sin7r(6 — ui)

or

/j si 11 Tz(b -+- Ut ) si 11 71 ( A Ut) = 2 ( COS 2 1t Ut — COS 2 6 7")

= e2""-" -t- e- 2Tt" — 2 c< >s ' b -,

mod /*( ut) -

\/e'2mi -+- e~2""-" — 2 ros 2 6 ~ \ oiis voyez donc qu'en posant

#( a?) = - log loga-,

«m peut exprimer directement la partie réelle de 3(yî) en supposant^ réel «m l'on trouve alors