STIELTJES A H ERMITE

Toulouse, le > juin \ 889.

Chek MonSIET. 11,

Nous trouverez un peu pins loin un petit résumé des formules nouvelles de la théorie de la fonction Y. qui vous scia utile peutêtre lorsque vous reviendrez sur celle théorie; pour le moment, il suffira de remarquer que la formule

logT(a) = / a ) loga — n n — log 2ir-+- J(a)

défînil évidemment J(«) comme fonction non uniforme de a. M. us supposons une coupure de o à — x et prenons J(«) réel lorsque a est réel et positif. Mois, grâce à celle restriction de la nia relie de la variable, .1 a est | ail iliciellemenl ) un il orme et a une valeur déterminée dans toul le plan 1 excepté, il esl vrai, les points

LKTTKE '215.

de la coupure où, à vrai dire, il y a deux valeurs selon que l'on arrive en ce point par un chemin tracé dans la partie supérieure

dx

ou inférieure du plan). C'est cette fonction J(a) qui esl donnée

par

r«) j(«>= nL--)y,( — ! ! — )

et à Laquelle se rapporte la limitation mod J( Re'**) < Quant à la formule

[2 RcosH8

Jl

alog(i — e^)

rf*,

elle n'est exacte qu'en supposant I*. R. a > o et, pour éviter toute équivoque, il vaudrait peut-être mieux écrire

il / a2

a loch — <?***'

cfr,

où il faut prendre le signe -f- ou — selon que la partie réelle de a est positive ou négative.

Si l'on adoptait (i) comme définition, on aurait

Mais, comme vous l'avez remarqué, l'axe imaginaire est une coupure et des deux côtés on a, en vérité, deux fonctions différentes dont l'une n'est pas la continuation analytique de l'autre. Ici, comme d'ordinaire, par continuation analytique il faut entendre cette continuation parfaitement dé le nui née qui se fait, d'après M. VVeierstrass, par la série de Taylor ou, d'après Riemann, par l'équation

a = x -+- yi,

dx dy

Toute autre méthode conduit à l'arbitraire. Donc il ne convient

'i'(f) correspondance imikhmitk bt de stiki.tjks.

pas d'adopter i i I comme définition générale, il faul la borner au cas I'. R. a >> o ou, ce qui revienl au même, la remplacer par i i \, La continuation analytique (d'après Weierstrass) de la fonction

qui e>i définie pour

par I i ntégrale

i r «log(i — e'2i - J a>- -r- t*

(Il

esl précisémenl La fonction J( a) telle que je l'ai définie en commençant, <i <|in esl donnée par (a).

Il sérail facile dé continuer analytiquemeni cette fonction i(a) en traversant l<i coupure; pour cela, il suffil de calculer La différence des valeurs de J(«) sur les bords de La coupure. Mais alors elle cesse d'être uniforme.

.1 ai vu avec plaisir votre transformation

ix*(e*—i)

J(a) = # — i't ,lt.

,-' i i — 2a) — / — ici

I >ans la première, on doil supposer P. R. a >> o pour que I intégrale suit convergente; il est curieux de voir que, dans la seconde, celle restriction s'annonce par l'existence d'une coupure.

Sait-on, Monsieur, si le Tome 111 du Traité de Halphen est irréparablement perdu ou ^ 1 1 avait préparé du moins nue partie pour 1 impression déjà ?

A-t-on déjà démontré que la constante eulérienne

est un nombre incommensurable? Je pense «le temps en temps à cela, niais je n'ai pas encore trouvé une expression de C qui pourrai! conduire à i\ne démonstration, cependant, je dois examiner encore quelques expressions obtenue- récemmenl el qui me semblent donner une faible espérance. Mais peut-être que je perds ma peine à pure perte et la chose est-elle déjà démontrée.

Mais ma principale occupation esl d'achever el de perfectionner

iiKin travail sur les fractions continues; pour n \ pas renfermer trop de choses un peu disparates, je le scinderai <'n deux parties : l'une plutôt algébrique, tandis que, dans la seconde, je m'occupe de la question de con\ersence surtout. Ces fractions continues représentenl ordinairement des fonctions dans toul le plan, excepté une coupure comme J(a \.

Je pense passer les vacances près de ma famille en Hollande. c e>i plus de quatre ans que je n'ai pas vu ma famille et ma le m me éprouve aussi un grand désir à revoir ses parents. Cela n'entravera en aucune façon noire travail, la Haye esi même plus près de Pans que Toulouse ( onze heures en chemin «le fer an lieu de seize heures). Je pourrai même travailler là-bas plus à mon aise qu ici où les grandes chaleurs sont vraiment accablantes, el les enfants aussi en souffrent beaucoup. Nous me savez être toujours votre très dé\ oué.

P. -S. - - Les intégrales définies dans la théorie de la fonction l'(#), qu'on a considérées jusqu ici presque exclusivement, ne sont valables que sous la condition

Il n \ a qu'une exception appareille pour la formule île Binel

>i log(l ^ t'-71' ) dt a2-t- f1

mais \ous avez remarqué que, à vrai dire, ce n'est là qu'une illusion. L'intégrale représente (\r> deux côtés île la coupure deux fonctions différentes, l'une n'est pas la continuation analytique de l'autre.

(1 est M. Bourguel qui a d'abord obtenu des intégrales définies qui permettent de franchir l'axe des y. Il obtient une formule que j'écris, après un léger changement de variable,

,, V^ /"* dll / SU) -2/111 u .

*dj0 u H- a \ ht. )

elle représente la fonction J(«) dans toul le plan avec la coupure de o à — x; c'est la fonction J (a) telle qu'elle a été définie plus

|58 CORRESPONDANCE d'hERMITE KT UE STIELTJES.

haut. I ne autre forme « I « - cette formule de M. Bourguet est celle-ci

J(a)= / du;

J0 u-ha

esl évidemment nue fonction périodique

et, dans l'intervalle i <>, i ): on a

Cette accoude forme (2) se décompose immédiatement dans la formule de ( îudermann

J 1 « 1 = / — du — / du -+-...,

J0 u-ha Ji u — a

C'est celle seconde forme (2) qui me paraît la plus importante et la plus fondamentale; il en résulte aussi directement la différence des valeurs de J(a) aux bords de la coupure, d'après votre formule.

La formule de Gudermann (3), déduite de (2). permet naturellement de continuer la fonction i(a) en traversant la coupure el met ainsi aussi en évidence le vrai caractère de J(«) et montre qu elle admet une infinité de valeurs selon le chemin de la variable, si l'on fait abstraction de la coupure.

Peut-être que je me déciderai à rédiger el à publier ce que j'ai fait sur ce sujet.

J'ai besoin de ces formules pour taire voir que la série de Stirling est applicable dans tout le plan. Cela a toujours été mon but principal et qui m'est propre.

La démonstration de la limitation

iimmI J(« ) <

12 H cos2-i9 csi le premier pas et le plus important dans cette direction.