STIELTJES I III. Il MITE

Toulouse. i6 juin 1889.

Cher Monsieur,

Que je vous plains de I ingrate besogne qu on vous demande ! Mais parlons plutôt d'Analyse. Il me semble que votre analyse pour la décomposition des fonctions doublement périodiques ne laisse plus rien à désirer. L'expression asymptotique de rf(&)

étant — > il est évident <iur la série

^ cp ( x -+- ma + nb ) — ©(£ -4- ma — nb )

esl convergente, de même que

7 ©'( ./• — ma — 11 h 1.

\piv> liien des recherches, le tome des Annales rie l'Ecole Normale de 1880 se retrouvera bien. On saii <lu moins à qui on l'a prêté, il \ a quelques années déjà, mais je ne l'ai pas encore.

Je -dis surtout bien aise d'apprendre par votre lettre que M. Picard a déjà démontré que le nombre total des racines de (-j(x) = a, (,'(./•) — b ne peut être fini, ce que je ne sa\ai- pas. Mais, dans le cas que M. Picard aurait encore un exemplaire de son Mémoire pour me l'envoyer, je lui serais, en effet, infiniment obligé et vous voudrez bien lui exprimer toute ma gratitude. Voici une remarque que vous avez faite peut-être déjà. Dans votre Cours de la Sorhnii ne 1 3e édit., p. 68 l, la formule

s = y< 1/» — n(/» ■+-•>. )...(m-4- w — i) xm > (n + i)(B + 2)...(2n + m — 1 )

LETTRE *2*21. \~j l

vous sert à démontrer que ex esl incommensurable lorsque x esl entier. Ne vaut-il pas La peine de remarquer <pi on démontre aussi de cette manière que, tant < 1 1 m - ./ e^i commensurable, >'■' ne I esl pas. \iusi, [ogx esl incommensurable pour # = — ■ En effet, sup-

posons x = —> c = t u|> pourra supposer .# = — > o , on aura 1 9 A V 9 /

B»Mn(f )-*»- n,(f)-T£^i8'

le premier membre est un entier, le second membre esl toujours positif el tend vers o pour // = ao, donc contradiction.

Mon adresse à la Haye sera toi Balistraat, mais je ne peux pas encore déterminer l'époque où je partirai, car la Faculté ne s'est pas encore réunie pour parler de la session du baccalauréat. En tout cas, ce sera probablement dans les premiers jours d août seulement.

En réfléchissant sur la constante eulérienne G, il me semble presque qu'on pourrait arriver à démontrer l'incommensurabilité en parlant de

G= r(-L--e-*)ÏZ

el des propriétés des intégrales définies de la forme Ae-«' Be~Px

) dx.

Mais c'est une recherche qui demandera beaucoup d'efforts et que je réserve pour les vacances. Quoi qu'il en soit, si cette route est obstruée..., je perds aussi la confiance dans mon idée première.

A l'égard de celte question des zéros 'de Q(#), j'ai toujours été frappé par un passage de la correspondance de Gauss et de Bessel.

Gauss dit que si la fonction entière / dx admet une racine,

elle en admet nécessairement une infinité et, plus tard, il a calculé effectivement l'une des racines. 11 affirme aussi la décomposition en facteurs primaires (la fonction de genre zéro ou un, il associe les facteurs provenant des racines conjuguées). Tout cela a-t-il été bien démontré? \ présent, cela parait encore bien mystérieux. Je prépare un petit Mémoire pour nos Annales où je rencontre

\~ >. CORRESPONDANCE D'bERMITE ET 1)1. STIELTJES.

la formule

I I " ' • osira — — i 1 — h. .. — Ci a

analogue à

<ii a i es! une fonction entière qui peul s'exprimer par