G II

Je conclus de là que la valeur asympto tique de la dérivée tp (x)

•>. G , <■ lîtnl > la somme

\ cp'( a? -t- ma ■+- nb )

représente une fonction analytique et, en plus, celle fonction esl doublement périodique, aux périodes a el l>. d'après sa composition.

( )n a, par conséquent,

f (x) = G -4- ^ cp'( x -t- ma -4-/16), C étanl une constante, el il vient en intégrant

j\x) — /(£) = C(x — \ )-+-^[o(;r •+- ma -+- nb) — cp(| + /»« ■+- «A )].

\ ous voyez que l'intégration a conduit, pour le second membre, à une série convergente. Ecrivez, en effet,

cp(a? -4- ma -4- nb) = o(x — \ -1- \ -4- ma •+■ nb)

+ X (a? — i; ) tp' \\ -4- m« -+- nb -4- ô(a? — £)] ;

vous voyez que le terme général s'exprime par la dérivée, donc, etc. En particulier, pour /( r ) = /> - sn-.r, on peul prendre a = 2K,

On reconnaît ensuite liés facilement que la série

m^ y(x -4-/> -+- im K -4- im'iK')- (£ -4-/? -+- -imK -+- 2m'iK')! J

ne change pas en changeant le signe de ./ et Ç ; il sul'lil pour cela de remplacer/?? par — /?? et /??' par — 1 — m' dans le terme général; donc C = o et l'on a

/Wsn2.r — sn2£)

[x -4- 2 m K -t- ( 1 m' -4- 1) i'K' |- [ ij -h ». m Iv -t- ( 2 />»'-(- 1 ) i k |- \

'|-d CORRESPONDANCE d'HERMITR F.T l)F. STJEI.TJES.

C'esl de là que je lin' 1rs expressions <!<■ S(x |, 9, (.r), H(.r) ei M,i ./ sous forme d'un produil de facteurs primaires.

En vous renouvelant, mon cher ami, I assurance de mon afifeci ii m bien <l<;\ ouée.