STIELTJES I HERMITE

Toulouse, ier juillet 1889.

Cher Monsieur,

En nous remerciant vivement, je ne peux m'empêcher de dire quelques mots sur un résultai que je viens d'obtenir. Je s;iis que vous êtes profondément engagé dans d'autres lectures, mais je plaide les circonstances atténuantes parce qu'il s'agit d'un sujet (îui nous ;i occupé ci intéressé beaucoup il y a quelques mois. Du reste, \011s pouvez remettre à plus tard la lecture de ce que je vais écrire, imiis je peux vous assurer que c'est presque aussi élémentaire que les livres de Lacroix, etc.

Il s'agit de l'expression asynipto tique des coefficients de ./ " dans le développement de 0(a?) et de (-), (x).

Pour simplifier un peu l'écriture, je pose

Xn = e~a -+- 4" e~'*a -+- 9" e-9<< -H ... -H kïn e~k%a -4- . . . , \|i>„ = e-« — 4" e~'*a -+- 9" e"9« — . . .± &2" e~kia =p

J'obtiens comme il suit les valeurs asymptotiques de -l>„ et iii»,,. Le logarithme du terme

étant

in logX: — /.-«,

le maximum de ce terme, en considérant k comme variable continue, a heu pour

-— — 2 ka = 0, k = k

et la valeur du maximum est

Soient maintenant k = ktn- î. o^e<i, k, étant entier et

positif. Je calcule la valeur du terme k'\" e~kut dont le logarithme

est

2 n log( k — e) — a(k — e)2

LETTRE 22 ï. 1 7 ~>

in , . .. . ., .

~rz < ' t a îi i i iiliniiiiciii petit, | ai asymptotiquemenl

I )c là je conclus Xn= ( - ) e~n\e- î^+r^iE + '^+rî"^^'^,..

\ Cl /

4 e-2fl!e !)», e-2«(e-2)-h...]j l)b„ = (— i)*.-' ( -V'e-»[e -2«es— e ->«(«+i)»|c-«««e+i)»4-. . .

En effet, j'ai remplace ainsi les premiers termes (ceux dans le voisinage du maximum) par leur valeur asymptotique, quant à < <u\ d'un rang éloigné de ceux-là, ils sonl à peu près négligeables.

( )r si je pose

f(Z) = e-*--s-4-e-^(- + l)5-t e-*(: + 2)-f.e-/l- 3 + :tt"- + ... + r*(i-l|-+ï -A(s-2)»|e-*(a- 1)» + ...,

On a. d'après la théorie des fonctions elliptiques,

f(z)= l/j\\-h'îe '' cos'iizz -h 'ze f< cos.\tzz -\- .

g(z) = -ii/j\e iA costzz -><- e '*k cos3-^ -+-. . . J ; îe

i H- 2 e 2 " cos 2 ti£ + 2 e 2 " cos 4 tce

-t- ie -" cos 6 tîc

tib« = (— i)*i 1( - ) e"t/— \<?~8" costlï -+- e 98"cos3tc