STIELTJES A II ERMITE
Leyde, ij novembre [883.
YIoNS] Et R .
Depuis que je vous ai adressé ma dernière lettre, j'ai pu consulter les Disqu. Arithm. J'ai vu alors que le théorème auquel j'ai été conduil par des considérations d'une autre nature est encore un simple corollaire de ce que Legendre a trouvé par induction el de ce que Gauss a prouvé dans son Vit . 292 (je n'ai à ma disposition que la traduction par Pouillet-Delisle, p. 34o,-35o). J'aurais donc dû mentionner celle circonstance. Pour le moment, je ne puis que vous prier de retirer ma Noie et de ne la point présentera l'Académie. En effet, Monsieur, je sens bien qu'il faudra attendre jusqu à ce que j'aurai la tête libre et pourrai approfondir plus à mou aise toutes ces choses, avant que de publier mes études. Voici encore quelques formules (si vous voulez bien en prendre connaissance qui pourront se déduire, sans douté, toutes de la
même source, c'est-à-dire (Je la relation découverte par Legendre
entre F(n) et la représentation de n par trois carrés,.
Soit w(n) = S( — ■ i) a , cl parcouranl ions les diviseurs impairs de // (n pair ou impair) et prenons F(/?) toujours dans le sens de M. Kroneckcr. Convenons encore que, dans les sommations, il faudra prendre s = i , 3, 5, ... el r — o, ± i , ±2, ±3, ....
Alors on aura
n = i ( mod 8 ) F(n) = 2 Nçp ( ■ ' ) 5 si /? est un carré, il faudra continuer jusqu'à cp(o)= ' ; n 3 ( mod8) F(n)= Y'f n = 5 (mod8) F(/i) = a^g>( —
V 4 Encore, « étant le double d'un nombre impair
n = % (mod |) F(« ) = Vo(n — s- i = \ cp ( — I.
En distinguant, dans cette dernière formule, les cas n = 8k-\-2, 8 A- H- 6 et faisant attention que ®(/\k -+- 3) = o, on pourra écrire
n = i (mod 8) F(»)= //
» = 6 ( mod 8 ) F(n) = 2^tp ( — -
Comme on a généralement
Fi •v-/w» ) — a*F( /» i,
les formules précédentes donnent toujours une expression de F(«) excepté seulement dans le cas n = /\k(Sr -\- ^). Ces nombres 4*(8/' + 7) étant précisément ceux qu'on ne peut représenter par x- -+-j- -\- z2.
A l'égard de ces déterminants 8À -(- 7, j'ai encore trouvé la relation
SF(«— 16/-2) = {*(«) — *'("),
®(n) désignant la somme des diviseurs de n, Q>'(n) la somme des diviseurs inférieurs à \/n.
La formule VII de M. Kxonecker fait connaître la somme 2< — i)rF(n — i6r2), n = 8 A 7.
Celte somme esl une fonction arithmétique de n un peu moins simple que celle pins haut.
I ..s théorèmes de Legendre doivent donner facilement les expression- asvmptotiques de
F(i) + F(9) + F(i7)H-...-{-F(n)) F(a) + F(io) + F(i8)-t-...-HF(n i, F(3)-f-F(u) + F(i9)+...4-F(iO, F(5) + F(i3)H- F(ai )-+-... -t-F(»),
F(6)-+-F(i4) + F(22) -+-...+ Fi n .
Ces expressions sont égales à y^n-, tandis que la valeur approcher de
est huit fois plus grande et égale à -Kir .
Mais il ne semble pas qu'on puisse obtenir cette dernière valeur aussi facilement.
Je suis, Monsieur, avec le plus profond respect, votre très dévoué.
Monsieur,
STIELTJES A HE R M) TE.
Leyde, 24 novembre i883.
Permettez-moi de compléter les formules que je vous ai déjà communiquées, et d'indiquer, en même temps, comment j'ai pu vérifier partiellement ces formules à l'aide de la théorie des fonctions elliptiques.
Soit, d parcourant les diviseurs impairs de //.
*(n)=2(!0rf' dd'=n,
^> = 2(=^)' en sorte que •AW(n) est le nombre total des représentations de n
par x2-\- "iy-- On a alors [F(/i) toujours dans le sons de M. kronecker]
(À) re=i(mod8) 2F(n — 8r«) =i*(n) ■•[?(«)
(/• = o, ±i, ± ■?., ± 3, ...), (B) n = 3, 5 (mod8) X F( « — 8/-2) = \ *(n)
(/- = o, ±i, dba, ±3, ...'),
(G) n = 3, 5, 7 (mofl8 ) SF(n — 2s2) = £*(/i)-+- {V(n) 0 = i, ■'!, 5, 7, . . .)•
D'ailleurs *P(n) — o lorsque n = 5, 7 (mod8). Parlons maintenant du développement
sns = 4 > — sinsa?
71 *di — q' (s = i, 3, 5, 7, ...),
en différentiant et posant après x = -/> on trouvera, à cause de
en — = 4 / r, , dn — = \/k ,
À-'K2 / jy- -ST1 (— i)~*~sq* „ r
(., -rS/2{1-k')=2à ^qsq (, = ,,3,5,7, •••)•
Soit, comme à l'ordinaire
%t(q ) = iq'* ^ iq'* ^ iq k -4- . . .
GsCsO = ' + 'icH "+" 2<?4+ 2</9-h. . .. on a
et, changeant ^ en çr2.
de plus.
V/^TK
56 CORRESPONDANCE d'HERMITE ET DE STIT.LTJES.
en sorte que le premier membre de l'équation (i) devient
M*(?)8î(S'«)e,(sr)1
ou bien, à cause de
e«(gr) =8K?2)-61(g'2),
(2) [^(f-^iy^l')^^^'^^
— 1 .« (— i) 8 sq-
J'emprunte maintenant les formules suivantes à M. Kronecker (Monatsberichte dér Berliner Akademie, 1870, p. 229)
(3) j^FUn-n?"^* =62(?)6l(gr))
(4) s^F(8^'n?'" + ^'i]ivi.
La formule (4) est du reste la même que celle que vous avez donnée dans le Journal de Liouville, 2e série, t. \ II, 1862, p. 38.
Dans ces formules, on a généralement
F(n) = Fi n 1;
seulement >i n est un cari*'' impair
Comme on a
ej(jr) = 05(gr«) + e*(gr»)>
on voit facilement que la formule (3) se décompose d'elle-même dans les deux suivantes :
4V F| Sn -r--jic/" + l = 6S< 7 1 8| > 72).
A l'aide des formules (3 . 1 j ), nous trouverons
^V<4«- ny~T~ •>2F(8n^3)7^
En posant maintenant, avec M. Kronecker,
4»'(/i) = 2( — i) K d (d diviseur de n), le développement du second membre de < 5) donnera
La comparaison avec le développement du premier membre donne
n=i(mod8) *'(/?)= aSF( n — 8 r1 >,
n = 3 (mod8) *'(>) = — 42F(n— 8/-2> ■+- 42F(n — 2SS),
n = 5(mod8) *'(«)= a 2 F( « — 8r*) — 82 F( n — zs*),
« = 7 (mod8) *'(«)= 42F(ra — as2)
Il est facile, maintenant d'introduire la fonction F(n) au lieu de F(/i); on trouve
rc==i(mod8) *'(n) -H V(n) = 2SF(b- 8r2),
>i = 3 (mod8) *'mi+ tf(n) = — 42JF(/i — 8r2) -h 4 l.F(n — a*»), n = 5(mod8) *'(n) = a2F(re — 8r2) — 82F(/i — a*2),
71 = 7 (mod8) *'(»)= 4SF(/i — as').
Ces relations résultent aussi directement des formules (A), (B), (G) en remarquant que
<ï>(/i)= *'(«) lorsque ra=±i (mod8.), «ï>(n)= — *'(«) lorsque re=±3 (mod8).
Mais pour retrouver les formules (A), (B), (G) elles-mêmes, il serait nécessaire de recourir à d'autres formules de la théorie des fonctions elliptiques, formules que je n'ai pas encore cherchées. Toutefois, cela ne sera pas difficile, probablement.
J'ai encore retrouvé quelques relations dans lesquelles les déterminants sont compris dans la suite 3Â2 — n ; voici les plus simples
»-5(modnO SF(n- 3.*) = ,(») = " ± ^
« = 7 (modia) ïF(b — 3/-8) = |ij(»)
Yi(n) signifiant la somme des diviseurs de n de la forme izk ± 5, diminuée de la somme des diviseurs compris dans la forme
58 CORRESPONDANCE n'ilERMITE ET DE STIELTJES.
i / /, i. Peut-être <>n pourra obtenir ces formules encore au 1 1 1 . • \ < ■ 1 1 île h théorie des fonctions elliptiques, «mi faisanl usage de la transformation du troisième ordre des fondions 0; c'est ce que je me propose d'étudier. . .. Dans une de ses nombreuses Notices, M. Liouville a donné la relation
inrifl i;
dd
C'est une formule qui appartienl évidemment à la même catégorie, et qu'il faudra retrou\ er.
Voici une question, Monsieur, qui s'est présentée à moi, à l'occasion de ces études. En posant
Bi(x, q >i/'-\\\.r — iqK sin3a? -t- iq 4 ?in5r- — ...
on sait que
Maintenant, je crois voir qu'il sérail uiile de connaître de même
une expression de
Zn'-c/"2
en fonction des 8. Quelques formules que j'ai obtenues d'une manière arithmétique nie font soupçonner qu'il existe une telle expression de -/t-cj"* par les fonctions f). Mais je n'ai pas encore tâché d'étudier celle question. Peut-être une telle expression estelle déjà donnée sans que j'en aie connaissance. Dans ce cas, si une telle formule vous serait connue, vous m'obligeriez beaucoup de m'en avertir quand cela vous conviendra.
Croyez-moi toujours, avec le plus grand respect, votre très dévoué.
P. S . — En parcourant, dans ces derniers jours, le beau Rapport de M. Smith sur les progrès de la théorie des nombres, spécialement dans le Rapport de 1 865, ce qui a rapport aux formules de M. Kronecker. j'y ai rencontré cette expression 8[2 +(— i)w]X(«) pour le nombre des représentations de n par x- -^ y- + -S2H- t2. De même, la relation
n 7 (mod8) 2F(n — i6r*) = IÇ(n) — Ç(n)
que je vous ai communiquée [(j(/&) somme des diviseurs, Ç'(n) somme des diviseurs «< \Jn \ es1 une conséquence directe de deux formules données par \l. Smith. Mais probablement celte formule rentre dans celles 1-VIIJ de M. Kronecker.
