STIELTJES A HERMITE

Leyde, 7.5 novembre i883.

Monsieur,

Permettez-moi encore d'ajouter à ma lettre d'hier quelques remarques sur ces séries Hn-q'1'.

En posant

i — k- sin2cp do,

les formules de Jacobi ayant rapport aux fonctions de seconde espèce donnent d'abord

7T2 i — iq-\-iq'* — 2^9 — ...

4KE qk->r 9^4-H 25^r '*

Par le changement de </ en y4, la formule (a) donne

= P = Ss«gr*%

(3) g' -+- 9y9-+- 25gr25-+- 49?49 + - • •

= ILi/ï f ■ — y/Â77 12 ; y/F(i-AVF) K

et, ensuite, à l'aide de (ï)

(4) 2(4<74+ i6gr16-+-36gr36!-. . . ,

= I i/24[(l + /F) E- v//7(, + AV^)K] = Q = S^'l Ici, et dans la suite, dans les sommations il faudra prendre

Maintenant, on a encore

(6) Q,= S^l= (iH-/A')i/

Comme vous voyez, la fonction de seconde espèce E est éliminée dans cette combinaison

PQi-QP.= -^A-V/7 que Ton peut écrire aussi

(7) i622(s*- n)qw= ^!/v2//7= ee|63,

en posant

0 = 1 — iq -\- iq** — 2^9 — ...= 4 / — - —

o2= iq* ->r- iq* -^ iq * -4- . . . = 4/ ^^ >

/âK

03= i-i- 2# -+- -2q*-\- ay9-^-. . .= 4 / — •

Mais on a

ee2e3= ■^.('7V — 3^*h- )^"r> — ...) = ij.(—i)~sqT

en sorte qu'on obtient

La comparaison du développement des deux membres suivant les puissances de q donne cette relation singulière que l'on doit encore à M. Liouville et dans laquelle N signifie un nombre impair

Dans le second membre, la sommation s'étend à toutes les représentations de N par s2-j- t2, ce second membre s'évanouissant si N

LETTRE 34. 6l

ne peut pas être représenté pur la somme de deux carrés. Prenons par exemple N = 25, on a

2(52— f1) = 2(9 — 16) 4- 25 = II.

En effet, on trouve

lF(99) - 3F(gi)4- ■"» F ( 7 3 , — 7F(5i) -t- yFOg), = 1.9 — 3.64-5-7 — 7.64-9.J — 11.

Pour N ••>.-. on troiiN e

1 Fi ro7 i - 3F(99) + 5F(83) — 7.F(59) 4- 9F(27), = 1.9— 3.9 + 5.9 — 7.94-9. j = o.

En effet, 2- n'est pas la somme de deux carrés.

Comme vous voyez, le théorème arithmétique exprimé par la formule (9) est équivalent à la formule (8); cette dernière formule revenant à (-) comme on le voit à l'aide de votre relation

Veuillez m'excuser si j'ai demandé trop de votre attention, mais je craignais ne pas m'ètre exprimé assez clairement sur ce que je me proposais en parlant des séries Hn2qn*. La formule (7) est une de celles dont j'avais pressenti l'existence. Croyez-moi toujours, avec le plus profond respect votre très dévoué.