HERMITE A ST1ELTJES

Paris, i5 décembre i883.

Monsieur,

Votre Note sur un théorème de Liouville a été présentée à la séance de l'Académie de lundi dernier et paraîtra dans les Comptes rendus de cette séance. Je me rends compte, par les indications contenues dans votre dernière lettre, des difficultés qu'il vous a fallu surmonter, et aussi de la joie que vous avez dû éprouver eu voyant les fonctions de seconde espèce disparaître dans le calcul de la somme £S(.r2 — 3y2)qr°~+3-y'~. Vous aurez certainement donné le premier exemple de l'emploi, pour l'arithmétique, de la transformation du troisième ordre, et je suis bien sûr que M. Kroneckcr et d'autres s'intéresseront vivement à vos résultats. En tout cas, vous travaillez avec une telle activité que je ne puis vous suivre que de loin. J'en suis encore aux formules (A), (B), (G) de M. Kronecker qui ont été mentionnées dans votre lettre du 24 novembre et qui m'ont rappelé, en réveillant d'anciens souvenirs, une recherche à laquelle je suis revenu. M. Lipschitz, avec qui je suis depuis longtemps lié, m'y a encouragé, et, en me bornant à la pre-

CORRESPONDANCE D'IIERMITE ET DE STIELTJKS.

mière i p. 2 u» des Monatsberichte) voici mon procédé de démonstration :

Je remarque d'abord que, pour un déterminant

\(;B2=2 (mod4),

toutes les formes, el en particulier les formes réduites, peuvent se répartir en trois catégories, représentées «le cette manière :

où r/, a', a" sont des nombres impairs et A un nombre pair. Ceci excluons les formes ambiguës, qui, dans le cas actuel, sont toutes données en supposant b < > : supposons de plus le coefficient moyen positif; il est clair qu il suffira de changer b en — b pour obtenir la totalité des formes réduites non ambiguës. Maintenant. je ramène ces formes à un seul type, le premier, représenté par i<7. a', a!')\ mais, au lieu de limiter le coefficient moyen par la condition ia d ci, j'admettrai qu'il reçoive la série des valeurs

Considérez, en effet, les réduites (cr, b, ia'); elles deviennent par la substitution x = X - - \ , y - — Y, au déterminant — 1 : (#, a — b. a >'/' — >.b) et rentrent par conséquent dans le premier 1 ype, le coefficient a — b ayant pour Limite supérieure a — 2, et le coe cient a ■- ia — >.b étant supérieur à a d'après la condition 2 l> 2 a'.

Envisagez, en second lieu, les réduites représentées par | sa, b, a ; elles sont improprement équivalentes à («', b, ■>.</ i et ers dernières formes sont elles-mêmes, comme nous venons <le voir, improprement équivalentes à («'. à1 — b, a1 — ia — ib). Or, on retrouve encore par le coefficient a' — b la limite supérieure a1 — ■>. et la condition a'-\-ia — ib~^>a'. De là je conclus que les formes réduites de ces deux types (a, b, 2^'), (2a> ^> a') sont équivalentes, les premières improprement, et les secondes proprement, aux formes (a, a', a") dans lesquelles nous supposons a' = 1 , 3, 5, ..., a — 2 et d' ~^> a' . Ces dernières formes peuvent donc être employées à représenter la totalité des classes non ambiguës, en leur joignant celles qui n'en diffèrent que par le signe du coefficient moyen : (a, — a', a

Ce point établi, je fais le produit des séries suivantes :

V tc / V i '/ J si 11 a .1

' /ïkj\ ^ 1 — 7"

:;aK*

J'intègre ensuite entre les limites zéro et -• Si l'on remarque que l'on a

f - sin ax . -

I — : — — ax — - , I S I II X >.

on trouve ainsi

7" ae! I — 7"

où a" passe par la suite des valeurs

Développons maintenant le second membre suivant les puissances croissantes de q et il viendra immédiatement

(tll II' ill

«" prenant, comme a, les valeurs impaires 1, 3, 5

Des deux séries auxquelles nous sommes ainsi amenés la première est évidemment

Soit ensuite

a'2 -+- 2 ad — a"2 = 2 N,

il est clair que 2N est le déterminant changé de signe de la forme (a, a", a + ici'). Sous la condition relative à a", cette expression, comme nous l'avons vu, fournit la moitié du nombre des classes

~4 CORRESPONDANCE d'hERMITE KT DE STIELTJES.

non ambiguës; d'ailleurs, le nombre des classes ambiguës est précisément o (IN , comme Gauss l'a établi : désignant donc par F(2N) lr nombre lotal des ela--e> de formes quadratiques de déterminant - 2N, on trouve le beau résultat de M. Kronecker

v.Ot

et l'on obtient pareillement les équations (B) et C) «le l'illustre géomètre. Ma dernière lettre - ') eontient une erreur qui tient à ce que j'ai écrit 83 au lieu de 0. et ma formule obtient par là une autre signification que celle que j'ai indiquée; une autre fois j'y reviendrai. Ton- mes vœux, Monsieur, pour le succès de votre travail et la nouvelle assurance de ma plus haute estime et de mes sentiments bien dévoués.