STIELTJES A HE MUTE

Leyde, \ janvier 188^.

Monsieur,

J'avais bien remarqué que la première de vos deux formules

(a) 7 1'/' nv" H".<71G + ...

' ' ' [ (| H- 7 .-' ( I 7 ■' .' Il -7 ' |ï

1 ? -'■ 872' Sqk 87e

= (7'' -+■ 7' + 7 v — •■■ > L1 ~ ( 1 — tji |2 ~ (7+-' 7^- — ( 1 — 7« >2 "|

suffit pour établir la plupart des relations entre V//) etB(/i) que j'ai rencontrées; mais il n'est pas possible de les établir toutes de cette façon. En réfléchissant sur cet objet, j'ai éprouvé une vive satisfaction en voyant que les deux formules (a) et (b) ensemble contiennent en effet, en germe, toutes ces relations. L'intérêt que vous avez bien voulu montrer pour ces relations me fait espérer qu'il me sera permis d'entrer là-dessus dans quelques détails. En désignant par f(n) la somme de ces diviseurs de n qui sont divisibles par la même (plus haut»') puissance de 2 que n, par g(n) la somme des diviseurs impairs diminuée de la somme (les diviseurs pairs. On a :

+ ...=/(i)7-/(a)Sr«-+-/(3)gr>-...

-ii"-'/i «i</».

?{i)q'i + g(ï)qk-+-g{$)qi

>V g-(nJgri

Pour plus grande conformité, faisons

alors les deux séries seronl

^ (— i )»-»/( /i) g"' el ^A'i/'iy"'. o o

et vos deux formules donnent ces relations (eJU) /(n) — 2/(n — j2)

-t- -2/(/i — 2! ) — •'./( n — 33) ■+- . . . = o ou = (— i )"■ ' /i,

< iib

)-:-A'(~ g-*-) +«-(--j ■ ) •■•] o, ou =«;

n = i ( iikii] 8

la seconde valeur a lieu seulement quand n est un carré.

Ces deux relations donnenl, en effet, toutes les formules de ma lettre précédente. Soit, comme autrefois, <p(/>) la somme i\<><. diviseurs impairs de n el supposons n = ?.k m, m étant impair. On a évidemment

/< // | = /( ll(m i = :>.'• o( //; ) = •>/'/< /«),

g{n) = g{ik m ) =(\ — 2 — 22 — ... — 2*)<p(m)=(3 — 2X hl ; o ( /« ),

o| /m = tp| ■>/•'/// i çp (m i,

d'où

(i) 2/( re) -î- z(n\ - '!o( « i,

et si nous prenons, comme autrefois, <p(o) = — . cette relation peste encore vraie pour « = o.

Rappelons maintenant les définitions de A (/m. I> // :

A(«) = cp(n)H 2 o ( « — •.'. 2 ) h 2 cf ( « - j - i B (n ) = tp(« ■ i - » ~ g i ii — V- \ — . . .

et posons, de plus,

A'( « ) =/(n i -+- 2/( /? — 22 . ». /'i /* — j2) - . . . B'CO =/(n — i2)-t-/(n - !- >-+-...

n ^ i ( mod 8) B'(/») = 8 ïg (— ~ ' " ) -h g ( - -^- ■--" ) H ... I

[ B" ( » ) = o o a n J , on a évidemment

l Ai 4«) = A( n i -+- 2B(n ), / k\,\n) = 4 A'< n) -h 8B'i n

Je vais maintenant déduire Les formules relatives au cas où I argument h est de la forme [km, m i mod8).

Posons d'abord n = m dans {A I et (Hb). La première qui s'écrit

V'i /; i — 2 l!'i n) ■■ 0 OU t — I )"-'/*

donne, // étant impair et par conséquent A'(n) = \f n i,

Mais mi a évidemment

et la formule - ni. ) donne

f . «? — i - , / m — ">- ,; m =»[^(— g" )"*-^( 8— ;-H'--J =° CM' "'•

I (mut. à cause de i i i,

2 B'i m i -+- l!"i m i = 2.4 Bi /» 1.

En retranchant donc B"(m) des deux membres de (3). le second membre devient toujours égal à zéro, el nous trouvons :

\in ■> \\\\ m k m 1 (mod8 ).

I ne application réitérée de

\ [n) jA'i//' 8B'(/i) donne

■a[4*B'(m) i7' lB'(4/n) -+-... -i-4B'(4*-im)] 1 /.■ . 1 .

I >'après (<Jt et i itb 1, le premier membre esl égal à

tB 1 |*/h 1 f*B'( m i.

En ajoutant donc des deux côtés \h lï "< in > et observant que

2 B'i /// ■ B"(m) - i lîi w),

on obtient :

B \>- m 1 (*.24 Bi /// 1 4-[4*-iB'i 4/?/ 1 +.. .-f- $B'(4*-»/n 1 1

LETTRE 'i I . 79

ou bien, parce que pour n pair B'(/> ) = B(rt),

B(/,2/» . i = 42.9.4 B(/>< 1 i-4B( im),

B(43tm 1 = 4s.a4 B(m) -4- j2B(4w 1 i - 4 B ( \*m >,

Donc

Bl ilm) = 8B(4*m),

et ces relations jointes à A(4n) — ^-(n) ~+~ aB(//) donnent immédiatement les formules que j'ai données pour le cas d'un argument de la forme ^km, m = 1 (mod8). Les autres cas peuvent être traités d'une manière analogue; mais alors la relation (X) suffit el il n'est pas nécessaire de connaître cette seconde relation (ill>).

Mais voici, Monsieur, une nouvelle propriété de cette fonction B(n) qui entraîne immédiatement une propriété semblable de la fonction $(n).

Soit/? un nombre premier impair, n un nombre quelconque non divisible par p2. Alors :

B(n/>2/.) = [p**— f-\p**-*-hp**-*— (- )/)3*-s -+- jt?3*-6 -4-...-+- 1] B(n 1

où ( - \ est le symbole de Legendre et où il faut prendre (—) = o, lorsque n est divisible par/?. Le facteur de B(/?) est

pli. | p3/t-3 j ^3*-6 (..,)! | W, ( pSk-l | p3*-6 )..,,,)

Mais je n'ai pu établir cette formule que très péniblement pour le cas de k = 1 seulement, et il faudra trouver une autre méthode pour traiter le cas général. Vous trouverez donc, peut-être, que je suis trop hardi à donner déjà la formule générale; mais quelques analogies m'ont guidé et, ayant confirmé cette relation dans plusieurs cas, À" étant égala 2, 3, 4 j'ai une entière confiance dans l'exactitude de cette relation.

So CORRESPONDANCE d'hKRMITE ET DE STIELÏJES.

Comme une conséquence, voici, par exemple, la valeur explicite de §{ n), ii étant an carré,

8a^!p;-2Y ... " IO S'^~' PQR. . . .

p p3a—p3<x-i^.p3ct-^—pSa-B ...-+-i}

/, étanl un cuit' très grand, on a donc sensiblement

ri, 43. . . "ii 10.

n impair

C'esl un peu moindre que la valeur moyenne

Mais. Monsieur, permettez-moi cette demande : la réduction de. §(np* k§ n ne se trouve-t-elle pas dans les Mémoires couronnés par 1 académie l'année passée : Sur la décomposition d'un nombre en cinq carrés? En effet, dans le Mémoire de Dirichlel (|ui servira pour toujours comme exemple dans ces recherches, les relations analogues oui été déduites des séries infinies qui servenl ,1 exprimer !<• aombre des classes.

Sojez hit'u remercié. Monsieur, pour les bons vœux que vous avez exprimés à mon égard; certainement je vous souhaite le même bonheur.

\ olre très dévoué.

P. S. — - J'ai remarqué une erreur dan- le théorème V de ma Vote sur un théorème de M. Liouville : l'expression exacte est

8^ < — ■ ) - * F f N » *a ) =2 (a?2 ~ ?* } 5 mod8)3 '\ r« k2, X\~ ' (mod 16

L'expression donnée dans les Comptes rendus, t. XCVII, p. i4i5, était

[\ -, MnodS), aN = a?»+vS> ^ " ' """l '" I l. v'- 1 1 mod 8)J'

LETTRE 42. 8l