STIELTJES A H ERMITE

Leyde, i5 janvier i88'|.

Monsieur, Je \<mis ai communiqué, il y a quelque temps, les sommes de ces séries

V p(/i — as5 i (* = i, 3, 5, ...)

en supposant, dans la première, n=i,3, 5, dans la seconde, n '». 5, - (mod8). J'ai enfin réussi à combler la lacune qui se montre ici, el à sommer la première série encore dans le cas n= 7, la seconde, dans le cas // = I (mod8).

Je vais rapporter les formules générales qui supposent seulement que n est impair. Prenons toujours Fi // | dans le sens de M. K.ronecker [en sorte qu'on a sans exception F(4«)= 2F(/i)] et posons

de plus

■l, n) = \ (— 1) » d (ddl= n),

la sommation ayant rapporl à imites les solutions de

n = xi—iy*,

./■ étant positif, y positif, nul ou négatif, mais inférieur en valeur absolue à -x (ou, ce qui revient au même, iy-<^ru ou encore X-<C 2 n). S'il n'y a pas de relation de cette (façon) sorte, il faut prendre y < // ) = o; c'e>l ce qui a lieu toujours quand n est == 3 ou mod8), mais encore en d'autres cas. Cela posé, on a les relations Minantes :

1 1 ->.\ (— 1 >'Fi n-?.r!)=(-i) - /i // i (n = o, ±1, ± 2, . ..) db , ■>. V Fi // •/ = 24/(7? 1 — /, n).

Considérons encore les solutions de n = x2 — iy'1 ; mais, cette fois, prenons y positif, x positif ou négatif et (railleurs, comme

précédemment, en valeur absolue, y < — et posons

Alors on a les deux formules suivantes dans lesquelles n est toujours impair,

(8) *£(— iy¥(in ~ 2r*) = x(n) — xi(n),

(CD) 2]F(2»-^) = 2^(n)-X(/l) + Xl(n).

L'intérêt principal de ces nouvelles relations me paraît consister dans l'introduction de ces fonctions %(n),'/ \ (n) qui dépendent de la représentation de n parla forme d'un déterminant positif a;2 — iyavec cette limitation 2 val. abs. y<C val. abs. x. 11 me semble en effet que cette circonstance sera la source de très grandes difficultés si l'on (voudra) veut entreprendre de retrouver ces formules par l'analyse des fonctions elliptiques ou, du moins, par des développements analogues. Je ne crois pas qu'on ait jamais vu s'introduire, dans ces calculs, des formes d'un déterminant positif tel que x- — iy- ' .

Comme un exemple plus simple, j'ai, maintes fois, tâché, mais toujours sans succès, de démontrer par l'analyse seule cette formule

q* cr , ff ,

i — q6 i — q10 i — qVt i

x impair, 2.r>3^î?o

qui exprime ce théorème connu que le nombre k des solutions de

n = x'1 — 'zy^, n impair, x impair, i \x >» 3y^.o

est égal au nombre des diviseurs de n compris dans la forme 8/' zh i moins (minus) le nombre des autres diviseurs 8/'dz3. Et, avant moi, M. Heine n'a pas été plus heureux, comme il le dit dans son Traité des fonctions sphériques (>.e édition, t. I, p. 112).

v, CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.

I'.ii prenanl successivement x \ , 3, 5 on a

Ij o -^-79 (i -h y-21;

v..,, y 2.1 f.5,-2.4|gr-2.9 Hg,-2.16)

Mais la condition ix~^>Zy . o donne dans le second m cm lire une loi un peu compliquée. J'ai remarqué, toutefois, que celle expression est susceptible d'une transformation élégante. En effet, je trouve que le nombre des solutions de n = .r- — 2 )-. x > iy^o est égal

à ' ou à - - selon que k esl pair ou impair. ( )n aura donc

.r > iy o 2 /' " • 3 y o parce que /. es! seulement impair quand n est un carré. Or on a

i(l( gr-2.1-4- g-2-*)

donc

2 a- > 3 r i ' - 7:;': ( i -: 2 y- iA* )

'/:i(i -i- 2<7 2-15-t- ig— 2-2*)

1 "I I — 2<7-2'15-}- ■?.<]---*-+-. . .— 2CJ--n°-).

Le second membre rappelle bien, de loin, les développements que vous avez rencontrés dans vos recherches sur les théorèmes de M. Kronecker; mais je n'ai pu prouver par l'analyse l'égalité de

ce second membre à — ^— , -'■ -1 — ; -|-. . .. Or il me semble crue La

démonstration analytique des relations (JU), . . ., ((D) sera difficile à

pins forte raison et je ne (me) ha sa nierai pas à L'entreprendre après mon insuccès dans la question plus simple dont je viens de parler. La formule (X) par exemple revient à celle identité

2 V (— i)"q2"-X V F('2/i-H i)qi"+l

-h 5<725(i — iq-ÎA -t- 2^/-2-4)

-4-(2« -+-l)gr(2n + 1)*(X — 2 ^— 2-1 -H 2 gr— 2.4 H- . . . -+- 2 (— \)n q-în*

Je prévois déjà que les formules données par M. Liouville, dans lesquelles la série des déterminants est — (n — 3/-2), ne forment que les cas les plus simples; pour avoir des formules plus générales il faudra des fonctions analogues à ^ et qui dépendront des solutions de n = x- — ày'x et n = x2 -\- 3y2. J'espère aussi que je pourrai maintenant compléter le système des relations données dans ma Note sur le théorème de M. Liouville, et je me propose de présenter alors ces formules à l'Académie.

On m'a offert, il y a quelques jours, un professorat d'Analyse [Calcul différentiel et intégral) à l'Université de Groningue. J'ai accepté cette offre et je crois que cette position me permettra d'être plus utile. Je dois beaucoup, dans cette circonstance, à l'extrême bienveillance de mon ancien chef M. Bakhuyzen, le direc teur de l'observatoire. Un de ces jours, ma nomination définitive arrivera. Mais vous comprendrez bien que ce changement entraîne pour moi des distractions qui m'éloigneront de l'étude dans les premiers mois à venir.

Agréez, je vous prie, Monsieur, l'assurance des sentiments res pectueux de votre serviteur dévoué.

P. S. — Je viens de recevoir votre lettre qui me fait une impression pénible en me portant la nouvelle du deuil de famille qui vient de nouveau vous frapper.

Acceptez mes remercîments pour vos renseignements précieux sur les Mémoires de M. Smith. Je me propose, dès que j'aurai

CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJF.S.

|(. [oisir, el ce sera, j'espère, dans les vacances de l'été prochain. (|(. faire une étude sérieuse de ces théories. Peut-être aussi, alors, les Mémoires couronnés par l' académie auront paru. Je ne doute poinl que la relation entre F(np2k)et F(/i), comme celles entre F(/t.4*)el I ' a • ne soienl (seront) contenues dans les résultats de M. Smith el je me promets beaucoup de satisfaction à voir comme cela découle de ses théories si belles et si importantes. Quant à la formule

elle es) une conséquence facile des résultats de Gauss (Disq. A rith., art. 253-256) retrouvés el complétés plus lard par Dirichlet. La recherche de Gauss est une application de sa théorie de la composition des lui nie- quadratiques; ses résultats ont été démontrés aussi d'une manière très belle el très simple par M. Lipschitz (Journ . de Barrit ., t. LUI. p. ■< i38- 2 i5o, > qui se fonde sur l'étude dc> substitutions linéaires de déterminant/? qui transforment directement une forme quadratique d'un déterminant n en une autre de déterra inanl ////-.

Nommons H (n) le nombre des classes proprement primitives de déterminant — n ; alors

seulement, lorsque « = i, il faut prendre la moitié du second membre. Et, de plus,

(P) FinJ^Ui^

si I on prend pour d tous les diviseurs de // qui sont des carrés impairs. Seulement, lorsque n est un carré impair, il faudra retrancher - du second membre. Mais, comme, dans ce cas, il y aura an diviseur d = n, on voit que les deux formules (a) et (3) sont vraies sans exception, si Ton convienl seulement de prendre H(i) =- au lieu de H(i) = i. En supposant maintenant que n n'est pas divisible par/?2, vous trouverez sans difficulté que les équations (a) et : donnent ce théorème : F(np'2k) = ... etc. L'équation (a), du reste, ne suppose point cette restriction que n doit être divisible

LETTRE kk.

par/?2. En effet. L'équation (a) donne de aie me

A-l - \ nie

et l'addition donne la formule voulue par une nouvelle application dc(P).