STIELTJES A HERMITE

Leyde, ier mars 1884.

Monsieur,

En rentrant en ville hier soir, j'ai trouvé votre lettre qui m'est bien précieuse.

J'avais réussi, de mon côté, à démontrer les formules trouvées par induction, mais ma démonstration arithmétique ne pouvait se résumer en peu de mots. Votre lettre m'a fait penser de nouveau sur ce sujet; voici comment je crois que l'on peut arriver à mes résultats assez simplement en partant de

F(m2) = IO [o(/i2) + '>.C3(/i2 22)-H 2Ci(«2— 42) +.. ].

go CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.

Soil d'abord n=p un nombre premier : il s"at;i i d'évaluer

■C — ? ( P2 ) ■+■ 2 ? ' /'2 - ',/2 )-+-■•• ou liirn. à cause de

- I /M " /- — I , <-!-/> = pCp)<?(/0-H2<p(/>»— 22)-t-2op(i02— 42)+...

ou encore

Ce sonl deus formules elliptiques qui mènent au but; en effet, on a (Œuvres de Jacob i, nouvelle édition, 1. I. p. 162, 1 6-)

y(#i) représentant la somme des cubes de ceux des diviseurs de n dont les diviseurs sonl impairs.

Or. «-11 élevant au carré la formule (1), on voit aussitôt que le coefficient de qP devient

e>(i) cp (2jd — i ) ■+- a> 1 3 ; œ ( ip — 3; -+-...-+- ©(/>) <p (p) ... + tp ( 2/» — 1) <p ( 1) = «(/>) »(/> i -r- ïs(/; — 2 ; ©( /> + 2) -+-...= •£,+ />;

donc

( >n peut traiter d'une manière analogue le cas où n est composé . ( lela nécessite encore quelques considérations supplémentaires qui, toutefois, n'offrenl point de difficulté.

\ oici comment j'avais auparavant traité le cas de la décomposition d'un carré en trois carrés.

Soit

pour un uombre quelconque n, d parcourant les diviseurs impairs de n et -!/(o) = i; alors :

11 étant un nombre de la forme Sk-\-i, elF(n) la fonction de M. Kxonecker. Si l'on considère i2F(/i) comme représentanl le nombre des représentations de // par x2 + y2 + z- , on peul obtenir celte expression à l'aide des considérations les plus élémentaires. Maintenant on a

0(/7K<V?)-0(ry)2.

Donc

ou bien, en changeant q en — ry,

V(,)~2 8~ Sql

(h(gï2= wmr* — =42'K".>'/"-

En posant donc, pour un nombre = 1 (mod8),

w gc)=4[+('^ '.y^y^y^y.]

on aura, lorsque /i n'est pas un carré, (c) G(/i) = o

et lorsque // est un carré

k — 1 A2- 1 G(Mj = (— 1) 2 " s £.

Les formules (a) et (b) donnent maintenant

[ F(n)+~G(n) = /i\^(n-ti) (t=i,7, 9, i5, ...),

(rf) * ^

( F(»)- lG(«) = 42'î;(n-M2) (" = 3, 5, ii, i3, ...).

Ce sont ces formules (<:/) qui donnent, par une discussion facile, la valeur de F(/«) lorsque n est un carré impair quelconque.

Soit, pour considérer seulement le cas le plus simple, n =.p-k, p étant un nombre premier = 1 (mod8). Alors la seconde des

92 C0RRESP0NDAKC1 d'hEBMITE ET DE ST1ELTJES.

équations l d i donne, en faisant attention aux valeurs (c),

I pï*) — -jt>*=4 V^Qo2*— »2) (w = 3, 5, il, ...)■ ( lonsidérons un terme quelconque

el supposons

// n'. 'tant point divisible parjo; alors

■L p2*— «')= iJ/(/>2* — p*ru'î)= ty(pir)ty(pZk-tr^ u2 ,

( )r, oA r est = i et u! esl = rh 3 i mod 8 : donc un des nombres ph '■://' r-i 6 (mod8), el par conséquent

«!»(/»«*— a2) = o et F(/>2*)=Ip*.

En supposanl

n = ikpl^p'*.. . p'f '/'['■'/'!,'-. . . qf;

/>,./>.. ... étant des nombres premiers = i (mod {), qiyq2j ... étanl des nombres premiers = 3 i mod j i, on trouve que le nombre des représentations de n- par x- + )- — ;J esl égal à

</',".-' — //"'! — 2 tf'"s+1 H- q'"- — 2 ^'»s + ' -+- q™* — -i OP\Pi...p,-X — — x — = X...X —

q i — i qt—i '/ — '

Probablement on pourra aussi arrivera ce résultat en suivant un chemin analogue à celui (celle) qui m'a conduit plus haut au nombre <\f^ décompositions en cinq carrés; mais le temps me

manque en ce ment pour vérifier cela. Je suis très intéressé

• i voir la démonstration de M. Hurwitz, qui certainement ne m'est point connu) inconnu, parce que, en voulant étudier les Mémoires de M. Gierster, j ai dû recourir à un beau Mémoire de M. Hurwitz intitulé : Fondements d' une théorie indépendante de la théorie des fonctions modulain s.

Lorsque j étais engagé dans ces recherches, j'ai aussi considéré la décomposition c\i sept carrés. On a, dans ce cas encore, des formules entièrement analogues; l'analogie est plus grande avec la décomposition en trois carrés qu'avec la décomposition en

cinq carrés. Mais je n'ai poinl mené à lin ces recherches, el aussi je n'avais poinl encore trouvé une méthode pour déduire mes formules de la théorie des fonctions elliptiques.

Peut-être vous trouverez intéressante celle remarque, que j'ai faite à l'occasion de celle relation

qu'on a des relations analogues pour la décomposition en 2, f, 6, . . . carres. En effet, vous verrez aisément que l'on a, pour /■=2, 4, 6, ....

(/• — 21 ( A—- ) lr — 2\(A—'-\ l>-2)-

la valeur du symbole de Legendre l J étant ±1 ou o

lorsque n est divisible par/? (mais non par/?2).

$r(n) est le nombre des solutions de « = x^ + .r2 + . . . -f- x2r. De même, on a pour r = 3, 5, 7, ...

*r(*V«*) = (A- ( f~° ' n)li^r(n), \ P / /'

A = plr-2)k -+-...-+- pr-î + r (

mais je n'ai démontré cela, dans les cas /•=,>, 5, -, que dans quelques cas particuliers.

L'expression de &(n) fournie par les fonctions elliptiques est

m — I r m — I "1 rf — I

&(n) = &(a*m) = (- i)~*~4 Uk+i ~ (- i)~^~J 2(~ O"1" ^

c/ parcourant les diviseurs impairs de n; il est facile, d'après cela, de vérifier la relation donnée plus haut.

Mais, dans ces derniers temps, j'ai abandonné ces recherches parce que je veux étudier d'abord les théories de M. Smith; or, les Mémoires que vous avez bien voulu m'indiquer manquent dans la

bibliothèque de l'I niversité, en sorte que je dois attendre la publication de votre académie.

J'aurais encore à vous dire bien des choses concernant votre lettre; mais le temps me manque et je dois finir cette lettre déjà l o n gu e .

Croyez-moi toujours, avec le plus profond respect, votre très