HERMITE A STIELTJES

l'aiis, 12 mars 1884.

Monsieur,

\ un théorèmes sur la décomposition des nombres en septcarrés, contenus (Lins les équations

sont entièrement nouveaux el extrêmement beaux et je viens vous demander l'autorisation de les communiquer à L'Académie en publiant votre lettre du 8 dans les Comptes rendus (M. Peut-être en prendrai-je occasion pour \ ajouter quelques remarques concernanl votre expression de la fonction F(/z) de M. Kronecker par la formule

Fi // 1 -V «J,, n — 8/'*)

que \uiis tirez sans doute du développement

•> /, k i\\:r \\/q s\nx ^yq^sinSx

en supposant ./• = — . Le premier nombre devient, en effet,

— . . \.s et le développement de la quantité rrQ( conduit préci-

sèment à l'i \n ----- 2). Il ne nie semble pas inutile de remarquer que votre résultai est d'une autre nature que ceux qu'on lire immédia-

te1) La lettre du 8 mars manque. Elle constitue, sans doute, la Communication insérée aux Comptes rendus : Sur quelques applications arithmétiques de la théorie des fonctions elliptiques (Comptes rendus, t. XCVIII, p. 663; \- mars 1884 )•

LETTRE h6.

1 emenl < I « -s théorèmes A, B, C de M. Kronecker el qui dépendenl

<lc la fonction plus élémentaire f(n) donnant le nombre «lis solu-

lions de l'équation x--\-y2= m.

( )n trouve aisément

6 = 0, dbi,zh ?.,...; puis encore

c = o, rfci,±2, ±3, ...,

mais ces formules ne sont point les seules à s'offrir. Désignez par g(n) la fonction ainsi définie :

en désignant par d tous les diviseurs de n, moindres que \J n et

supposant n = 3 (mod4); vous aurez

7l3=S2ig(Sn-h3 — b*)qn+~\

b =0, ±2, ±4, ±6, Soit ensuite gK (n) une fonction relative à un nombre pair, à savoir :

où ^/ représente tous les diviseurs impairs de n, moindres que \Jn el fi?' tous les diviseurs impairs, plus grands que Jn, on a :

6 ? = « -+- 4^ * < 4 « - «2 ) y" + 4^ ^ ( " - c2 ) (~ ? )rt avec la condition de prendre c = W (moda).

La difficulté est de reconnaître de quelle manière seramènenl les unes aux autres des expressions si diverses; n'ayanl aucun espoir de la surmonter, je me résigne, Monsieur, à interroger les formules elliptiques de diverses catégories, en demandant à chacune son secret arithmétique, el à recueillir les réponses utiles ou inutiles avec patience et persévérance : plus laboris quam artis. Mai-* voici mes leçons qui arrivent, avec les examens de la Sorbonne. et. comme vous, il me faut faire la paît aux devoirs et aux obligations de l'enseignement. Non mh> regret, je m'arracherai aux formules suivantes qui m'ont coûté bien des efforts ci donl je ne désespère point d'obtenir quelques résultats. Soit toujours a = i, 3, 5, . . .; on a

~~ 2d (i — 7S«)« ~^~ 2d i — 7 2« puis, en faisant c = i, •> . 3

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Permettez-moi, Monsieur, de vous demander s d vous conviendrait d'appartenir à la Société mathématique de France : le règlemenl de la Société, 1)11! impose aux membres étrangers la même cotisation annuelle de 'ii'1 qu aux Membres nationaux, et un droit de iofr pour < 1 < • 1 1 x rance du diplôme, ne me permel point . sans avoir obtenu votre consentement, de vous proposer au chois de mes confrères qui, j'en suis assuré, vous accueilleront avec la plus grande sympathie.

Recevez, Monsieur, la nouvelle assurance de ma plus haute estime el de mes sentiments bien dévoués.