UERMITE A STIELTJES

Paris, a mai 1884.

Mo\ si 11 l; .

Votre lettre m'a vivement intéressé pur les beaux résultats qu'elle contienl : •■11'' ajoute encore, s'il e>t possible, à mes sentiments de haute estime et de sympathie pour vu lie beau talent. J'ai m dernièrement L'occasion, que j'ai mise à profit, il exprimer ces sentiments à votre compatriote M. Bierens de Ha. m. venu, comme moi, à Edimbourg pour assister aux fêtes du cinquième centenaire de II diversité, cl M. Picard qui m'accompagnait a fail de même de -ou propre mouvement. Ce me serait une vive satisfaction si le témoignage de mon opinion sur votre mérite scientifique pouvait srous servir eu quelque chose et cou tri huer à vous faire obtenir une situation digne de vous cl qui vous permît de vous livrer en entier aux recherches que vous avez entreprises. Permettez-moi, Monsieur, de m ni- prier de disposer de moi. si vous en avez l'occasion : je ne puis douter que mon confrère et ami M. Tisserand ne s'empre--e. a nia demande, de joindre son témoignage d'astronome el de géomètre au mien. La publication, dans les Comptes rendus, des résultats de vos travaux, pouvant ne pas être inutile pour appeler sur vous l'attention, je viens vous demander >'il vous convient (pie je présente à l'Académie votre Communication du 18 avril et. en attendanl votre décision, je me permets une remarque au sujel de l'équation

Si vous faites y = ( — 1 vous avez la fonction de Bessel qui joue

un si grand ride dan- la théorie de la chaleur et autres applications physiques. Or, l'équation dont nous obtenez les racines par la formule approchée

a été I objet des recherches d'un géomètre extrêmement distingué

M. Boussinesq, qui obtient l'expression

C'esi dans les Comptes rendus, i. LXXIJ, p. {80, que vous trouverez l'exposé de ses recherches sur ce sujel . <pii a longuemenl «occupe M. de Sainl-Vcnanl ; ne jugeriez-vous |>;is à propos d'en prendre eonnaissanec et de le citer en le rapprochant des vôtres?

La liaison que vous avez découverte, liaison cachée el <pii m'échappe entièrement entre les racines de l'équation de Bessel et l'équation Xw=o, me semble on ne peut plus intéressante, ainsi que votre expression des coefficients A par la formule

Vous avez indiqué trop succinctement volve point fondamental, que l'extension à une fonction intégrablc de la formule d'approximation de Gauss est une conséquence immédiate des inégalités

— 1 <«-!< — 1 + A,, — 1-4- Aj< a?2< — n- Aj -+• As,

Plus de détails ne me sembleraient point superflus si vous devez publier la lettre que vous m'avez adressée, et il vous serait facile, dans ce cas, d'y joindre une addition qui serait mise à la place convenable.

En remettant l'Arithmétique à une prochaine lettre et attendant votre réponse, je vous renouvelle, Monsieur, avec tous mes vœux pour vous, l'assurance de ma plus haute estime et de mes sentiments bien dévoués.

Mous