STIELTJES A II ERMITE

Leyde, 3 mai 1884.

Je viens répondre à votre lettre pleine de bonté par quelques développements sur la cpiestion que j'avais agitée. Ces développements sont probablement trop étendus pour permettre de les publier dans les Comptes rendus. Je composerais cependant avec

102 CORRESPONDANCE I» 111KMITE ET DE STIF.Ï.TJES.

plaisir une rédaction pour quelque Journal cl je demande voire conseil sur un choix.

Comme vous verrez, La manière dont je traite maintenant la question n'a rien de commun avec (-elle que j'ai décrite succinctemenl dans ma lettre précédente. Elle est infiniment plus simple.

J'ai toujours été frappé par celle circonstance que, taudis que la définition même d'une intégrale définie

\ / G(*)^ = lim[8,G(Ê,)-4-82G($s)-K..-4-8„G($„)]

permel toujours de calculer sa valeur avec une approximation indélinie. cela n'était point du tout démontré si. en appliquant une quadrature mécanique, on calcule

Si l'on prend, avec New ion el Cotes, les^rl5 œ2, xn en progression arithmétique, les \„ ne sonl pas toujours positifs (comme on le voil par les valeurs calculées par Cotes et reproduites dans le Mémoire de Gauss), et cette circonstance m'a fait croire qu'il y a bien peu d espérance d'arriver, dans ce cas. à un résultat simple. [Toutefois je n'ai pas cherché si, peut-être aussi dans ce cas, les Ar ne finissenl pas par (de) devenir tous positifs, n augmentant.]

Mais, dans la quadrature de Gauss, les Ar sont tous positifs, en sorte qu'on esl porté naturellement à chercher si l'expression (B) ne rentre pas dans celle qui figure au second membre de i \> en prenant, comme il est permis de le faire (en effet ^ -+- A2 + . . . + A„ = b — a) ùt = A,, 82 = A2, ..., 8/1= A„. Mais, pour que cette identification soit possible, on

devra avoir

" ' X\ < a — A i < a?2 < a -+- Aj ■+- A2 < . . .

inégalités qui exprimenl que x. oc2 vn sont compris dans les

intervalles choisis.

C'est ce qui a lieu, en effet, el ce que j'avais vérifié d'abord d une manière forl pénible en me servant d'expressions approchées des ./', et des \r. en supposant n très grand.

Je vais établir maintenant une proposition plus générale : Soit/(#) une fonction qui reste constamment positive dans l'intervalle a — Il

On sait qu'on peut déterminer n conslanlcs x{, x->, . . ., ccn # < xt <C x% < • • . < x„ < b et n autres constantes At, A2, . • ., A„ de manière que l'on ail

(i) / f(x)G(x)dx = A,/(a;1) + Aj/(r,)+...+ A„/(a?„)

toutes les fois que G(a?) est un polynôme en # du degré 2 /< — i au plus.

L<?s Aa 50/1/ tous positifs : c'est ce que l'on voit en prenant

(x — x^-.-.ix — xtly

cela donne

i> / f{x)G(x)dx = A/, G(xk).

Les Ah étant positifs et

A, + A., + . . .+ A„= / f(x)dx,

on pourra déterminer n — i constantes y{, y2, ■ • -, fn-\ de manière que

« < ri < y?. < • • • < jK"-i < * et

/ f(x)dx, A2 = / f{x)dx,

= I f(x)dx, ..., A„!= ^ f(x)

Aa= / f(x)dx, A„i f(x)dx.

On aura alors aussi

A«= / f{x)dx.

Je dis maintenant, et c'est ma proposition fondamentale : que ces constantes jTi, jKa> • ..jJKn-i séparent #<, #2j ...,#«. Donc

« < a?i <ji < a?2 < JK2 < x-i < . . . < yn-\ < x» < b.

Il faut remarquer que la démonstration que les Aa sont positifs se fonde seulement sur l'exactitude de(i), G(#) étant un polynôme du degré in — i au plus (et non in — i). Aussi, dans la démonstration suivante de la proposition fondamentale nous ferons usage de (i) seulement dans le cas que G(x) est du degré in — 2.

ro4

Je détermine un polynôme du degré m — i, T(j-) par le> conditions suivantes :

T'i Xk-\ ) = o,

1"i ./•/ hl) = o, T'(a7*+.j) = o,

Ces conditions étanl au uombre de in — i, le polynôme T(#) esl parfaitemenl défini par cela, et l'on aura

Les racines <le l'équation

son1 i d'après le théorème de Rolle).

Nombre.

'< ;i. En •• , ;x-i *i<Si '■'•■ ■■ . ■:■■•< Ia-i<3?a- * — i

(rf) 7)A+2, 1A-+3 '<]" Xk+i<TVc+2<&/c+2<--<vin < X n n — h — \

Le uombre total de ers racines esl 2/j — 3; T' (a;) étant du degré •m — I. l'équation ne saurait en avoir davantage, et toutes ces racines sonl simples.

Il est facile d'après cela de se représenter la marche de la l'onction T(a?) ou de la lignejK = T(#). Dans la figure ci-dessous, c'est

'%iaÀ-ja» J-itl'tTj

la ligne en trait plein; en effet, la ligne pointillée ne saurait convenir parce qu'il en résulterait au moins une racine de T'(#) = o pntre .' ■ el .//, . ,. qui n'existe pas.

On voil :

i ° Que T(x) est toujours |><>siiil' dans L'intervalle a, l> ;

2° Que i estla \n\vuv minimum de T(#) dans l'intervalle a — X/,.

De l'équation

At + Aa4-...+- A/,= / f(x)T(x)dx

nous pouvons donc conclure

Ai-hA«-f-... + A*> / /(a?)T(a?)fi?a?, • ,; et eniin

(a) A]-t- As + . ..-h A*> / /(a?)

On démontrera d'une manière parfaitement analogue, en considérant l'autre limite b de l'intégrale

kk+\ -+- A/,+2 -H. . • 4- A„ > / /(a?) ûfo? ;

donc

AiH-Aj-K..-t-AB= //(

x) dx,

(P) Ai + A2 + ...-+- AA-< / f(x)dx.

Ces deux inégalités (a) et ((3) font bien voir que la quantité y* définie par

' f{x)dx

reste comprise entre Xu et #*+«• C'est la proposition qu'il fallait démontrer.

Avant que j'eusse trouvé cette démonstration, j'avais constaté l'exactitude dans les cas suivants :

r'gHL<to = «y çf». (»*—>«!,

J i ^/y — x-i nA* ' L 2re J

r+1 / — 7,»/ x , - v1 • ./ ** \ni k^ \

I v i — x- (i (a?) dx = - — > sin2 Ci cos ■ >

J i n^i Ad \ n -+- i / d \ « -M /

/* . /I — 27,., , i- V^ . /i'~ ,,/ 2/iTT

/ 4 / ■ U(x) dx = > sin- ti cos

(/(#) du degré in — i au plus.

jo6 CORRESPONDANCE DHERMITE ET DE STIELTJES.

Quand j'étais, dernièrement, à Paris ('), j'ai été votre auditeur à la première leçon de votre cours du second semestre, et c'est même de ce temps que datent mes nouvelles réflexions sur la quesi [on que je \ îens de résoudre enfin.

Si mon séjour eûl été un | >« • n plus long, j'aurais certainement tâché <l ":i\ oir le plaisir de \ ous parler. Mais alors, l'heure du dîner me semblail trop proche et je suis parti I»1 lendemain matin.

\ olre 1res dévoué.