STIELTJES A IIERMITE

Leyile, 3o juin 1884.

Monsieur,

Permettez-moi «le revenir encore, pour une dernière fois, sur le sujel de ma dernière lettre, parce que je viens de faire une remarque qui éclaircit une circonstance qui semble singulière.

En effet, j'avais trouvé que l'équation

<7- w r ont dw 3< y. — y )

il 1 - ax 1 — x

admet deux intégrales particulières // et v telles que le rapporl : — est constant, 'X\ et ^ étant deux intégrales particulière- de

La raison bien simple de cette circonstance est qu'on passe de (1)

à (2) par

(r = .rît 1 - :r *'x-~iy ;

on en conclut à cause de

y = -A ~< x. p — 1. y — 1. •'■ 1 — HÏ; r-".'-~i 2 — 7, P + i — •■;, i — '{. x), w = Ao(i — x) ^-Y^(a — y, p h- 1 — y, 1 — Y, #)

— UÎ>a?Y(i — a:)a-ï#(a, p -+- 1 , -; — r . x) mi bien

it> = ,l,(i — a?)~P^(i — a, — 3, 1 — y, ar)

— Hb^T(i — x)*-l$(%, p + i, Y-M, a?).

La comparaison avec l'autre forme de l'intégrale <>l>lcnuc donne :

(3) (i-a?)-P^(i-«, -P, i-y, x) = ZeJx'{l-} ^,

(/,) arY(l — .r)^-Tj(a, p+i, y + '» •r) = Se^ '•

Les seules choses que j'aie obtenues, à proprement dire, sont donc ces deux identités (3) et (4) faciles à vérifier d'ailleurs pardifférentiation logarithmique. Je rappelle

<$ = ri (a, p, Yi *)>

0^,= v(i — Y)^-y(1 — -r)Y-*-PJ(i — 2, — p, 1 — -, a?),

on retombe ainsi sur deux relations identiques entre trois fonctions $. En considérant le cas particulier traité par M. Cajley, j'ai obtenu cette relation :

if1 5 5 ki

sin am2 — - -

Donc

sin am

Posant k- = -> j'avais trouvé antérieurement 2 J

am — — = 64° 1 1 10 , 09,

logsin = 9,954 352i, logsin2 = 9,908 7042;

128 CORRESPONDANCE d'hBRMITE ET DE STIELTJES.