ST1ELTJES A HERMITE

Leyde, 28 juin 1884.

Moi

Permettez-moi de compléter encore l'étude de l'équation différentielle de ma lettre d'hier.

En posant

s^= P(« Y)a;i-Y(i — a?)T-«-Pâf(i — a, 1— p, 2 — 7, #);

^i = ï(i — Y)^-Y(i — a?)Y-«-PJ(i — a, — p, 1 — Y» »)» •

l'équation différentielle

admet l'intégrale générale

(0 3" Aff. + B^,'

CP et ^ sont deux intégrales particulières de

(a? Xi) S + [Y ~"(a "H P + ° X] dx ~ ^r = °' tandis que <3?( et ^( satisfont à

Les valeurs de ^ el ^ peuvenl se mettre sous la forme

^ = p(a — Y)*Mr£(a — Y-+-I, 3-V-i- 2 — Y, *), ^i V" V ■' ■■-V-T<a — y, p — Y-hi, i — y, a:).

Posons maintenanl

/ i — x i dw I -i- ■

— — ou (^ = eJ *U— ■»■!•

L'équation (i) se change dans l'équation linéaire

' --r)'27777 -Mi-a-)[i— Y + (a-?-2).r]^ - 13(a-T)^ = o

el qous arrn ons à cel te c< inclusion :

L'intégrale générale de l'équation linéaire (2) esl :

el cette intégrale peul se mettre toujours sous la forme

/' ydx AU -f-li-^

i ; w = or

Supposons la forme (3), c'est-à-dire Z el 0 connus et tâchons d en déduire le rapporl ■= • Soil

r Tg to /■ ^ ,/t.

En égalant le second membre de 1 ■ '>' l à // + p, différent ianl et combinanl avec (3 . on trouve suis peine

La fonction (qui figure) dans le second membre doit donc être une constante, ce qui exprime une propriété des deux solutions particulières u <ï v facile à vérifier.

La différentielle logarithmique de (4) donne, en effet,

4\ et ^ étant des solutions particulières d'une même équation linéaire du second ordre, on trouve

tf; s>, $, ^; = Y J7-i-y(i <p)Y-*-p-t Y(i — y)

[6Ê'«f/'<?5 rfe Gauss, t. III, p. 222, formule (o,4)]- On devra donc avoir (avoir donc) :

$ £, — tf, £ = y ( i — Y) tf-Y ( ' — ^ )ï-«-P,

ce qui revient à

(5) ef(a, p, Y, .r)i(i-a, - p, i - T, *)

— ^°~V^(a, Bh-i, y -4-t, a?)#(i — a i,— 3, 2 — y, a?) = i. Y(i — y)

C'est une relation qu'on ne trouve point explicitement dans le Mémoire de Gauss; mais la formule (99) (p. 223)

donne, en transformant les quatre fonctions ^ à l'aide de

■+■ (Y--g)(Y—p)7^(tt] y + , p? Y + , j r) 3? (l a t + g ./} 2 Yj yy

lin changeant [3 en y — [3, 7 en #, on trouve la relation (5).

Nous avons vérifié ainsi l'équivalence de ces deux formes (3) et (3') de l'intégrale générale. Cette réduction dépend de la propriété (4) [équivalente à (5)] des deux solutions particulières u et v. Je ne sais point si cette intégration de l'équation ( 2 ) est connue ; j'ai vu seulement, dans le livre de M. Cayley sur les fonctions elliptiques (édition italienne de Brioschi, p. 228) que cet auteur a considéré les équations

j^&z 1 — 5 /. ■"- clz 1

3(I~ *-> d*» + — - dk ~ 7=BZ = °-

126 CORRESPONDANCE u'iIERMITE ET DE STIELTJES.

Mais, autant que je puis le voir, il ne semble pas avoir rencontré l,i forme analytique que je viens de trouver pour l'intégrale générale. Je dois ajouter que le Messenger of Mathematics n'est pas ;i m, i disposition.

\ euillez bien accepter de nouveau l'assurance de mes sentiments dévoués.