MONSIEUR

Un commencement de diabète, qui n'a pas été sans quelque influence sur mon travail depuis l'année dernière el que je soigne en prenant les eaux, n<' me mel guère en disposition de faire de l' Vnalyse. Cependant j'ai pris le plus grand plaisir à votre théorème •>! nouveau sur les mineurs du déterminanl

B-hb C-hc

et, si j'étais en meilleure santé, j'essaierais de retrouver votre démonstration. Permettez-moi, au moins, d'appeler votre attention sur une remarque très belle de M. Kosanes, sur les transformations en elles-mêmes des formes quadratiques, qui conduit immédiatement aux expressions des substitutions orthogonales que j'ai données autrefois. Considérez la substitution que j'écris, dans le cas de Irois variables seulement,

'/.r -+- a' y -+- a" z = aX H- 6 Y 4-cZ, bx -4- b'y -4- b" z = a'X -4- b'X -4- c'Z, ex -+- c'y -4- c" z = a"X -+- b" Y -1- c"Z.

\ (mis vérifierez sur-le-champ qu'on en conclut

x\ ax -4- a y -+- a" z) -hy(bx -4- b'y -+- b" z) -+- z(cx ■+■ c'y -4- c" c- |

= X(aX + a' Y + a"Z )+Y(èX+ b'Y + i"Z) + Z(cX + c' Y -+- c'Z),

c'est-à-dire une transformation en elle-même de la forme

En particulier, les relations

x — iy -4- jj. z = X -+- v Y — fx Z, v 37 -4- y — À .3 = — v X -+- Y -4- X Z,

— [j.T-t-XjK-1- z = |JiX — XY-t-Z,

où 1, * jt. , v sont les indéterminées d'Olinde Rodrigues, résultent,

i [a CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.

comme vous voyez, de La remarque de M. Rosanes. Je ne sais si ces expressions, sous forme rationnelle en "k, ;x, v, permettraient de démontrer votre proposition el surtout <lc la généraliser, ce qui sérail extrêmement important. En tout cas, permettez-moi de publier dans les Actamathematica (') votre lettre que mon éloignemenl de l'.ni^ m'empêche de donner nus. Comptes rendus et qui intéressera vivement, indépendamment de son application mécanique, el veuillez, en même temps, recevoir la nouvelle assurance de mes sentiments de liante estime el «le sincère amitié.

STIELTJES A H ERMITE.

Leyde, 6 septembre i!

J'ai appris avec (bien) beaucoup de tristesse celte mauvaise nouvelle de votre santé, que vous me donnez dans votre dernière lettre. \ euillez accepter mes vœux sincères pour votre rétablissement! Je suis sûr que partout, dans le monde mathématique, on en fera de même.

Votre lettre m'a fait reprendre l'étude de ce théorème sur les substitutions orthogonales et j'ai réussi, dans le cas de quatre variables, par un calcul qui ne laisse pas d'être un peu pénible. Le raisonnement suivant laisse à désirer sur un point, mais il s'applique à un nombre quelconque, pair, de variables.

Soient

-+- Ae d -+- \d

d" -+- Ld'

les coefficients de deux substitutions orthogonales de détermi-

(') La lettre de Stieltjes a été publiée (par extrait) dans le Tome VI, p. 3io-32o des Icta mathematica, sous le titre : Un théorème d'Algèbre. — On peut rapprocher ce travail de Stieltjes d'un travail antérieur : Sur le déplacement d'un système invariable dont un point est fixe {Archives néerlandaises des Sciences exactes et naturelles, t. XIX, p. 072-390; 1S84 )-

LETTRE Gi2.

nant -4- 1, <•! de plus

: + ; ic« b -h iAô

Aa \b Ac Ar/ Aa'" . . . . Ac/'"

En multipliant, il vient

(aa) (al>) (ac) (ad) (au) (bb) (bc) (bd) (ca)

(da)

(dd)

en posant

(aa) = (a

(ab) = (a

\ Aa) Aa ^ Aa) A6

£ Aa')Aa'-

| la') A/Z-

en sorte qu on a

(aa) = (bb) = (ce) = (dd) = o, (ab) = — (6a), (ac) = — (c«),

c'est-à-dire le déterminant S est gauche.

Supposons R = o, cela entraîne S = o. Mais S étant gauche, la condition S = o entraîne que tous les mineurs de S s'évanouissent [cette remarque, qui s'applique à un déterminant gauche d'un ordre quelconque pair, n'a peut-être pas encore été formulée expressément (peut-être)].

En supposant maintenant que D n'est pas zéro, on en conclut aisément que tous les mineurs de R s'évanouissent aussi. En effet, en nommant Da, D/,, . . ., les mineurs de D, on aura

(aa) (ab)

( da )

(ad)

(dd)

va,„