IV

et les mineurs de R s'expriment linéairement par les mineurs des deux déterminants à gauche, il vient, par exemple,

DR„ = S(aa)\a 4- S(„/,)A6 -+- S(acAc -+- S^Ao",

Rrt étant mineur de R, S(rtaj, S^„d) étant des mineurs de S qui s*évanouissent lorsque S = o.

CORRESPONDANCE d'hERMITB ET DE STIELTJES.

Il reste à faire voir que, lorsque R=o, on n'a pas en même lemps I » o.

Dans le cas d'un nombre pair de variables, ces deux déterminants M el I! sonl de même nature parce qu'il esl alors permis de changer de signe tous les nombres du Tableau.

Dans le cas d'un nombre impair de variables. I) est identiquement zéro, ci la démonstration précédente ne peut s'appliquer (' ).

J'ai été vivement frappé par cette belle remarque de M. Rosanes, que vous avez portée à ma connaissance. Que c'est simple ! On en

déduit aussitôt les formules générales avec

arbitraires pour

la transformation d'une forme quadratique en elle-même, (pion vous doit (à vous), en même temps que l'expression rationnelle d'une substitution orthogonale due à Cayley et qui a coûté tant de

peine à Huler.

Si vous le jugez (cela) convenable, je verrai avec plaisir que \mi> publiez ce que bon vous semblera i semble) de ma lettre. Mais toutefois, cela ne doit pas vous coûter (causer) de la peine.

Je suis toujours, Monsieur, votre sincèrement dévoué.

/'. S. — Il \ a quelques jours, ma femme est accouchée <l un lils. Heureusement la mère el l'enfant se portent très bien.

Il ERMITE A STIELTJES.

Flanville par Melz (Lorraine), g octobre 1884.

Monsieur.

Je suis bien touché et bien reconnaissant de l'intérêt que vous avez eu La bonté <\r me témoigner au sujet de ma santé, .le viens

(') Après la publication de la lettre de Stieltjes, M. Netto a publié deux .Notes dans les Acta mathematica, t. IX, p. 2q5-3oo; 1887; et t. XIX, p. io5-n4; 1896, Sur l'extension des résultats de Stieltjes au cas d'un nombre quelconque de variables.

vous remercier et, en même temps, vous Informer que j'ai envoyé à M. Mittag-Leffler votre avant-dernière lettre, en lui demandant de la publier dans son journal. Ce que vous m'avez ensuite communiqué dans votre lettre <lu 6 septembrem'a extrêmement intéressé el je vous lais mon sincère compliment de votre idée ingénieuse h originale d'avoir considéré le produit lil) qui se trouve, mois que rien ail pu le faire soupçonner, un déterminant gauche.

C'est là un résultat on ne peut plus curieux, el votre singulier théorème se trouve ainsi démontré pour les déterminants d'ordre pair avec beaucoup de simplicité et d'élégance. Vous réussirez certainement à traiter aussi le cas de l'ordre impair et je me permettrai de vous engagera consacrer à celle question, qui intéressera vivement les amis de l'Algèbre, un article suffisamment développé qu'il serait naturel de publier dans les Acta, après voire lettre, à laquelle il ferait suite. Je ne puis vous dire si, avant vous, il a été remarqué qu'un déterminant gauche ne peut s'évanouir sans qu'en même temps tous les mineurs s'annulent; mais peut-être trouverez- vous quelques données sur ces déterminants dans un Mémoire de M. Cavlev dont je ne puis vous donner l'indication précise, n'ayant pas ici le Journal de C relie, et que je crois, cependant, avoir été publié vers i85o, dans ce Journal ('). Vous n'aurez pas de peine, je pense, à le découvrir, en consultant laTable générale du Tome 50, par noms d'auteurs. Dans quelques semaines, je vous enverrai un petit article elliptique {-) qui paraîtra dans les Annales de V Ecole Normale etdont je m'occupe en attendant que, à mon grand regret, je sois forcé de revenir à Paris pour les examens de la Sorbonne. J'espère aussi recevoir bientôt de vous le Mémoire sur les quadratures que vous avez donné à ce Recueil et que j'étudierai avec le plus grand plaisir.

En vous renouvelant mes félicitations pour vos dernières recherches, je vous prie, Monsieur, de croire à mes sentiments de haute estime et de sincère affection.

(') Les travaux de M. Cayley sur les déterminants gauches se trouvent dans trois Mémoires insérés dans le Journal de Crelle, t. 32, p. 119; t. 38, p. 3; t. 5U,

(2) Sur une application de la théorie des fonctions doublement périodiques de seconde espèce {Annales de l'École Normale supérieure, 3e série, t. II, iS85) .

i 16 CORRESPONDANT D'EBRUITE ET DE STIKLTJES.