H ERMITE A STIELTJES

Pari?, 21 juin i^v"i.

Mo\siiu r. .

Vous avez mille fois raison, et j'ai grandement fait erreur en croyant que la partie entière dan- votre équation

Ç(s -f- [) = - -+- a„ -+- ai z -+- . . .

u'étail pas convergente dans tout le plan. C'est ce quej'ai reconnu au moyen de l'expression dont Riemann fait usage, à savoir :

„ . . i f°° xsdx

hl)= =; " /

Écrivant, en efTel .

xs dx C xs dx rx xs il '

/' xsdx r xsdx r xs dci

on voit d'abord que la seconde intégrale, <pii n'est plus infinie pour

. détermine une fonction holomorphe de cette variable, -i Ion

convient de prendre parmi les diverses déterminations de .r* ce que

JC ' vs dx ~ '

LETTRE 7:5. l49

j'observe qu'en supposant mod x < 2-rc et a fortiori x < i, on a, en série convergente,

ex-

dx

ex

11 en résulte facilement que le second membre représente une fonction analytique de s dans toute l'étendue du plan, fonction méromorphe, admettant pour pôles s = o, — r, — 2, .... Mais

- est la fonction holomorphe

e«D (1-+-de sorte que le produit

a perdu tous ses pôles, à l'exception du seul pôle 5 = 0 et, en même temps, on voit que le résidu correspondant à ce pôle esl bien égal à l'unité.

En m'excusant de vous avoir fait un reproche si mal fondé, je m'en permettrai un nouveau. Pourquoi, Monsieur, dans votre beau résultat, et qui ma on ne peut plus intéressé,

(logi)* , (log/Q* (logn)*+i

<•'* = h... H j— (/ï = ce),

écrivez-vous le premier terme et ne commencez-vous pas par le

, (log2)A"o 11/ .-i

second - — - — : Le cas de a : = o ne sera pas exceptionnel, avec cette minime précaution.

En vous renouvelant, Monsieur, l'expression de ma plus haute estime et de toute ma sympathie.

l5o CORRESPONDANCE PIIERMITE ET DE STIELTJES.