S - - - II

sera une fonction paire de t qu'il désigne par \{t).

L'expression qu'il trouve directement pour z(t). quifail voir en ellet ipie celte foncti -,t paire, fournil < loue une seconde démonstration de la relation entre Zts) et Ç(i — s) obtenue d'abord. Quanl à la fonction :< / >. vous voyez qu'elle a perdu le pôle s = 1 el les zéros s = — 2, - (. — 6 Or, la relation

montre que Ç(s) n'a point de zéro dans la partie du plan où partie réelle s > 1 . La relation entre Ç(s) el Ç(i —s) montre en-

LETTRE 7!(. iGi

suite que, dans La partie du plan où la partie réelle de s esl néga tive, s = — », — \, — <>, • • • sonl des zéros, el les seuls zéros.

La fonction ç(£) ne peut donc avoir de zéros que dans la bande où la paihc réelle de s esl comprise entre o et i, ou, ce qui revienl

au même, si l'on a ç(« j- bi) = o, A doil être comprise entre

et + - • Eliemann dit, maintenant, qu'il est très probable que tous

les zéros de la fonction ç(V) sont réels (b =o). Or, ayanl posé

s = — (- ti\ cela revient à dire que toutes les racines imaginaires

de Ç(s) sont de la forme - -{-ai, a réel. C'est sous celle lui nie.

légèrement différente, que j'ai exprimé la proposition deRiemann, n'ayant pas voulu introduire la fonction ç(<f) qui n'esl pas l'objel principal de la recherche el s'introduit plutôt comme auxiliaire dans l'étude de la fonction Zis). C'est, du moins, ainsi que j'ai envisagé la chose. 11 est vrai que celte fonction £(/) réunit en soi toutes les difficultés si l'on tâche d'obtenir la décomposition en lac leurs primaires de

(* — i)Ç(s)»=it»

En considérant l'expression obtenue par Riemann pour £(£), on trouve bien qu'elle a des racines réelles; mais j'ai inutilement cherché à déduire de cette expression, par intégrale définie, qu'elle a toutes ses racines réelles, et j'avais désespéré de démontrer cette proposition encore un peu douteuse, lorsque j'ai aperçu qu'on obtient cette proposition en modifiant légèrement le raisonnement de Riemann pour obtenir les zéros de Ç(s) en dehors de cette bande mystérieuse où la partie réelle de s est comprise entre o

et i. En effet, si, au lieu de 1 : Ç(s) — I I ( • — ' ~ )' je <olls'-

Ps I

dère i : Ç(,) = i - 1 - L < + ± + . . . = V Zi

cette différence capitale, entre le produit infini et la série, que la dernière est convergente pour s> -> tandis que, dans le produit, il faut supposer s ^> i . Voici comment je le démontre : La fonction f{n) est égale à zéro lorsque n est divisible par un carré el

162 CORRESPONDANCE DHEKMITK ET DE STIELTJES.

pour les autres valeurs de n . égale à ( — i i*, /." étanl le nombre des facteurs premiers de />. Or. je trouve que dans la somme

les termes — i se compensent assez bien pour <pie -,- reste tou-

jours comprise entre deux limites Bxes, quelque grand que soit n i probablement <>n peul prendre pour ces limites + i ci — n. De

la il -ii il . s étant > ->

lim = o

(n = xi

.1 de même la série ^ " 1+;r est convergente, | g(n) j désignant la valeur absolue de g(n).

Ce qu'il faut démontrer, c'est qu'on peut rendre \ - — — aussi

petit qu'on veut par un choix convenable de n. Mais, à l'aide de f[n ) = g(n) — g( n — i), cette expression devient égale à

sr( n -+- m i g(n — i")

Mais on a

ns

n* (n-i-iy i n — H )*-

Donc

ri /i n i gin -h m | ,^(n — i)

i ra — 7W i-"

(n-4-6)*+i (ft + n-8')s+1

s % n m — ii (, « — m — I -r- f) )•«+

Ur. la série > L£— -etaul eonver^ente. un peut rendre

' XC> ' !<?("-*-') 1 ^ \g(n — m — i)| /<s~ ' (n + i)"1 ' (n-H/n — i )*+1

LETTRE 7Î). l63

aussi petit qu'on veul : la même chose a donc lieu pour I» en

posant

^ /'( n i __ ff( n -+■ m i g{n — \)

( n ■+• m )s ns

iv i î , ?( n ■■ m ) ff(n — i i

L)c i)liis, les lermes — — — r ci convergent vers zéro

1 i n ■+- ni y n"

el peuventêtre rendus aussi petits qu'on \ cul . Donc la sérieN :

est convergente pour s > -• Je crois qu'elle comerge encore pour la valeur réelle s = - > mais je n'ai pu le démontrer. Ce qui esl certain, c'est qu'elle ne peut converger lorsque s <l - et, s étant -< ->

il est donc impossible que : — : reste comprise

entre deux limites fixes car on en conclurait, comme pins haut, la convergence de > ; pour des valeurs de s inférieures à -,

Ami n" ' 1

ce qui est impossible . Gela montre plus clairement la nature de cette proposition sur laquelle je me suis appuyé, que

reste comprise entre deux limites fixes.

Vous voyez que tout dépend d'une recherche arithmétique sur cette somme/(i) -\-f('i) -h . . .-{-/(n). Ma démonstration est bien pénible; je tâcherai, lorsque je reprendrai ces recherches, de la simplifier encore.

Mais on peut déjà se faire une idée de la lenteur avec laquelle croît g(n) (ou plutôt avec laquelle croit l'amplitude de ses oscillations) par la relation £= E( \fn ),

=.-i + fc(*)5-(*)-A(«)/(i)-*(j)/(a)-...-*(j)/(*

la fonction h(x) étant égale à i ou à o, selon que E(x) est impair ou pair. Comme g{k) est naturellement <^k en valeur absolue,

l'.j CORBESPONDAISCE li'll I HMITi: F.T DE ST1EL.TJES.

vous voyez que

»■ '(jh-Mî)

est inférieur à i k + i en valeur absolue, et même à k -f- 1 lorsque k esl pair.

\ ous voyez bien, maintenant, comment cette étude de Ci s) m a amené à des spéculations arithmétiques. Mais excusez-moi «I avoir parlé, dans ma lettre précédente, de celle proposition

2, log logn = A l h x

qui a été démontrée déjà par M. Mertens [C relie, t. 78) qui a donne'' aussi la détermination de V. a près avoir été, antérieurement, considérée aussi par M. Tchebychef (Journ. de Liouville, ire série, i . \ \ Il . Legendre, déjà, doit l'avoir ni tienne par induction.

J'espère, monsieur, que cette lettre n'est pas trop longue; je i iens surtout à vous avoir com aincu que je ne me suis pas éloigné de La notation de Riemann : c est, ce me semble, un léger malentendu.

Je suis, avec un profond respect, monsieur, votre bien dévoué.