r 9TC.r 25 TC

J\iKx)=e 4 —3e 4 -+-:> e ; on a ces deux relations (<) / (5) =**/(*),

(2) /l(j)=»Vl(*)-

Voici, maintenant, deux relations du même genre, Tmais qui ne me semblent pas se déduire aussi facilement de la théorie des fonctions elliptiques.

En posant

TZ.r- 47V. r IfiTt.r 2S7C.r

f2ix) — e 3 —2e 3 -r-4e 3 — 5e 3 -+-..., c'est-à-dire, en introduisant le symbole de Legendre.

avec la convention ordinaire que ( — j=o lorsque n est divisible par 3 et de même pour ( — ) on a

J'indique, en quelques mots, comment l'étude de la fonction Ç m'a conduit à ces relations.

Riemann a démontré, à l'aide de la relation (1). que

[68 CORRESPONDANCE d'HBRMITE ET DE STIELTJES.

ne change pas <'n remplaçants par i — s. Or. on posanl

les relations (2), (3), < j) permettent de démontrer de la même manière que

ÇiC*)i

ne changent pas en remplaçant s par 1 — .v. J'avais démontré il abord ces propriétés de Çt, Ç2, £3 d'une autre manière, en me servanl d'intégrales définies analogues à celle-ci :

Entachant d'obtenir ensuite (après) une autre démonstration, en suivant le chemin indiqué par Riemann, je n'ai pas tardé à obtenir les résultats indiqués.

Les fonctions Ç( . Ç2, Ç3 présentent beaucoup d'analogie avecÇ(s). Elles sont holomorphes dans tout le plan. Dans l'étude de la fonction Ç| (.v). les coefficients de la série

sec /• - Un a:- +

s introduisent de la même manière que les nombres de Bernoulli dans le cas de la fonction Z( s).

Ces quelques résultats me portent à penser qu'on rencontrera des résultats intéressants en étudiant les séries de Dirichlet

Peut-être pourra-t-on arriver ainsi à la vraie généralisation de ces relations singulières (1), (4)-

Mais, ayant découvert par une sorie de hasard ces relations (3) et (4), j<- ne vous cache pas <pic je ne sais pas si elles ouvrent un nouveau point de vue, ou si elles rentrent dans d'autres résultats déjà acquis à la théorie des fonctions elliptiques. Vous qui avez approfondi, dans toutes les directions, cette théorie, vous pourrez en juger beaucoup mieux.

je suis, avec les sentiments les plus respectueux, Monsieur, votre très dévoué et reconnaissant.