STIELTJES A H Eli MITE
Paris, 29 août i885.
Permettez-moi de compléter, en quelques points, ma dernière lettre. D'abord, j'ai omis une relation de la même nature que (1). . ."(4) et qui découle encore de la théorie des fonctions elliptiques. En effet, j'avais écrit
TC .»• 97M." 23 7CJt'
fi {-)=** fi(*Y<
mais, en vertu de la belle relation bien connue
( 1 — q - -q* -+- 75 -4- q~ — q ' - — . . . )3 = 1 — 3 q -+- 5 q* — 7 q6 -H 99 lu . • . .
on aura, en posant
Vfi(*) = /*(*)»
/, (a?) = e~ ~» — e~ ~^~ — e~ ~û~ -t- e li -1-
(a) /4^=2(jK^
et
(5) fi(±)=**fi(*)>
n parcourant dans (a) les nombres impairs non divisibles par 3.
En posanl
Y s) - 7 ( - | - (n impair comme tout à l'heure .
^^ n ) ir
cette relation 5 permet de démontrer facilement que
(£)îr(':)c.<.>
ne change pas en remplaçant s par i — s.
Dans le choix des fonctions Ç| i s i, '~2' s), ... à étudier, je me suis laissé conduire par cette analogie avec Ç s) que les /v'c/-
proques de Ç( s . Ç2 s peuvenl s'exprimer par desproduits
infinis où entrent seulemenl des nombres premiers et qui convergenl certainement dès que s^>i.
r.n elfet. cela fait voir que ees fonctions n'admettent poinl de zéros tant que la partie réelle de s est supérieure à un, et la relation entre Ç( i s i et Ç,(i - s) fait trouver dès lors toutes les racines dont la partie réelle est négative et qui sont pour Zt s
et de même pour les autres fonctions Ç.
L'introduction <\n symbole de Legendre dans les séries Ç, c està-dire la considération de séries de Dirichlet, était donc tout indiquée. Mais, comme je l'ai déjà dit, j'ai trouve'' d'abord ces relations entre Ç|(s) et Ç, (i — s), ... tout à fait indépendamment
des relations (2). (3) lu comme, par exemple dans le cas de
la fonction
/2O) =2(j) '"' ' ' on obtient une série analogue en difFérentiant
6 ( — — — I = 1 — iq cos2a?-i- xq* cos 4-r — iq6 cos6.r. . . .
par rapport à r. et posant ensuite X = -. * j'ai commencé à douter
si l'introduction du symbole de Legendre dans ces séries f*(x\. f*{x) était bien naturelle: il ne serait pas impossible, en effet, que ces séries dussenl être regardées plutôt comme des fonctions qui
naissent de la division de l'argumenl dans les fonctions 0. Mais je viens de trouver un nouvel exemple; en posanl
on a
et il ne me semble maintenant plus possible de douter que l'introduction du symbole de Le^endre dans les séries (-) ne conduise à des fonctions jouissant de propriétés remarquables el dignesd être étudiées.
Mais j'ajoute aussitôt que je n'ai pas démontré cet le relation < 6 . En effet, d'après la méthode bien imparfaite que j'avais suivie dans les cas plus simples, cela m'aurait entraîné dans des calculs si compliqués qu'on n'en voit pas la lin. Je me suis donc contenté de vérifier numériquement pour quelques valeurs de x cette relation el cette autre qui s'ensuit :
Mais, avant trouvé un accord parfait en faisant le calcul avec sept décimales, il ne me reste point de doute sur l'exactitude de cette relation.
Mais, pour le moment, ce sont ces fonctions Ç qui m'occupent encore toujours, et ce n'est qu'incidemment que j'ai fait cette excursion dans une autre partie de l'Analyse.
Je suis, avec les sentiments les plus respectueux, Monsieur, votre bien dévoué et reconnaissant.
