STIELTJES A HERMITE

Paris, 28 aoiU i885.

jNIONSIEUr. ,

Vous aurez appris par M. Darboux que j'ai accepté de tout mon cœur la proposition cpie vous deux m'avez faite. Je ne peux m'empêcher de vous dire comment cette marque de votre extrême bienveillance ma louf'bé et j'espère présenter ma thèse en quelqu<'s mois.

Permettez-moi, maintenant, de nous coniinnMKpiei" quebpifs résultats que j'ai ol)tenus en continuant mes lYjllexions sur la fonction X^. J'ai (III (| Il ils pourraient vous intéresser parce qu'ils semblent se ratlaclier à la théorie des fonctions elliptiques.

Les développements

{/ ^'^^'(~-) =2 '{/(/ — 6 v/78 - ro 'i/q^^ ■

conduisent à cette conséquence, qu'en posant

TC.r 97tJ- 25 7r.>-

on a ces deux relations

Voici, maintenant, deux relations du même genre, mais qui ne me semblent pas se déduire aussi facilement de la théorie des fonctions elliptiques.

En posant

Tt.r 4 71.1- IBIT.r I^TZX

c'est-à-dire, en introduisant le symbole de Legendre.

et

avec la convention ordinaire que | - j =: o loi'sque n est divisible par 3 et de même pour / — ) on a

le ^

(4) A(i)=^'fA^}-

J'indique, eu quelques mots, comment l'étude de la fonction ^ m'a conduit à ces relations.

Riemann a démontré, à l'aide de la relation (i), que

l68 CORRESPONDANCE u'iIERMITE ET DE STIELTJES.

ne change pas en rem plaçant s par i — s. Or, en posant

CiU-) = i - t; ^- T- —

les relations (2), (3), ( ^ ) permettent de démontrer de la même

manière que

ne changent pas en remplaçant 5 par i — s. J'avais démontré d'abord ces propriétés de C), s^, ss d'une autre manière, en me servant d'intégrales définies analogues à celle-ci :

En tâchant d'obtenir ensuite (après) une autre démonstration, en suivant le chemin indiqué par Riemann, je n'ai pas tardé à obtenir les résultats indiqués.

Les fonctions ^,, "Ç^^ "Çz présentent beaucoup d'analogie avecÇ(5). Elles sont holomorphes dans tout le plan. Dans l'étude de la fonction J^i (5), les (coefficients de la série

s'introduisent de la même manière que les nombres de Bernoulli dans le cas de l:i (onciion 'C(s).

Ces quebpies résultats me portent à penser qu'on rencontrera des résultats intéressants en étudiant les séries de Dirichlet

LETTRK 83. 169

Peut-être pourra-l-011 arriver ainsi à la vraie généralisation de ces relations singulières (i), (4)-

Mais, ayant découvert par une sorte de hasard ces relations (3) et (4), je ne vous cache pas que je ne sais pas si elles ouvrent un nouveau point de vue, ou si elles rentrent dans d'autres résultats déjà accpiis à la théorie des fonctions elliptiques. Vous qui avez approfondi, dans toutes les directions, cette théorie, vous pourrez en juger heaucoup mieux.

Je suis, avec les sentiments les plus respectueux. Monsieur, votre très dévoué et reconnaissant.