STIELTJES A HERMITE

Paris, 29 août i88.i).

MoJNSlEUll,

Permettez-moi de compléter, en quelques points, ma dernière lettre. D'abord, j'ai omis une relation de la même nature que (i). . .(4) et qui découle encore de la théorie des fonctions elliptiques. En effet, j'avais écrit

fi{.r) = e * — 3e * -f-5e ^ — ...; ./"i ( -z) =-^\/'ii-^):

mais, en vertu de la belle relation bien connue on aura, en posant

■K.f y-TiJ- 7-u.>- ir-7ir

(a) et

n parcourant dans («) les nombres impairs non divisibles par 3.

ITO CORRESPONDANCE D I1ERMH E ET DE STIEI.TJES.

En j)(>saiil

J", (\s ) — > ( — 1 — ^ Il itunair cnmiue tout à l'heure ),

cetlc rclalioii (5) penncLdc déiiioiilrer tacllemeul qiir

ne change pas en remplaçant s par i — s.

Dans le choix des fondions sif'^)- ^2(*)- ••• •' éliidier, je me suis laissé conduire ])ar celle analogie avec ^(s) que les /'ec/proques dc'Çti s), ^^{s)^ ■■■ peuvent s'exprimer par àe^ produits infinis où entrent seulement des nomhres premiers et qui convergent certainement dès cjue 5 p> i .

En effet, cela fait voir que ces fonctions n'admettent point de zéros tant que la partie réelle de s est supérieure à un, et la relation entre Ci (•^) et Si (i — ■^) f'i't trouver dès lors toutes les racines dont la partie réelle est négative et qui sont pour C, [s)

et de même pour les autres fonctions!!^.

L'introduction du symbole de Legeadre dans les séries !^, c'està-dire la considération de séries de Dirichlet, était donc tout indic{uée. Mais, comme je l'ai déjà dit, j'ai trouvé d'abord ces relations entre Ci (5) et Ci(i — s), ... tout à fait indépendamment

des relations (2), (3) Et comme, par exemple dans le cas de

la fonction

on f)btient une série analogue en dillérentiaiit

0 1 —^ — I =1 — iq cos iar -!- j.q* cos ] x — iq^' cosb./-. . . ,

par rapjiort à x ., et posant ensuite x ^= '^^ j'ai commencé à douter

si l'introduction du symbole de Legendi-e dans ces séries f.,[x), f^{x) était bien naturelle; il ne serait pas impossible, en effet, que ces séries dussent être regardées plutôt comme des fonctions qui

LETTIIK 84. 171

naissent de la division de l'argiiinenl dans les fonetions (-). Mais je viens de tronver nn nonvel exemple : en posant

OU a

(6) J\ {'-) ^^ x\f-Jx\

et il ne me semble maintenant plus possible de douter que lintroduction du symbole de Legendre dans les séries 0 ne conduise à des fonetions jouissant de propriétés remarquables et dignes d être étudu'es.

Mais j'ajoute aussitôt ([ue je n'ai pas déiuontré cette relation (6). En effet, d'après la méthode bien imparfaite que j'avais suivie dans les cas plus simples, cela m'aurait entraîné dans des calculs si compliqués qu'on n'en voit pas la fin. Je me suis donc contentide vérifier numériquement pour quelques valeurs de x cette relation et cette autre qui s'ensuit :

Mais, ayant trou\é un accord parfait en faisant le calcul avec sept décimales, il ne me reste point de doute sur l'exactitude de cette relation.

Mais, pour le moment, ce sont ces fonctions "C, (|ui uf oceupeni encore toujours, et ce n'est qu'incidemment que jai fait cette excursion dans une autre partie de l'Analyse.

Je suis, avec les sentiments les plus respectueux, Monsieur, votre bien dévoué et reconnaissant.