STIELTJES A HERMITE

Paris, i3 lévrier i88(i.

MONSIETJU,

Je viens de recevoir votre lettre, et je dois vous remercier de tout mon cœur, quel que soit, du reste, le résultat de la visite à M. Lucien Levy que je ne tarderai pas à faire. Je ferai aussi avec un grand plaisir la connaissance de M. D. André, dont je me rappelle bien les Notes dans les Comptes rendus. L'ingénieuse définition de certains nombres entiers (pii donnent aussitôt les coefficients dans les développements de tangjc, sécx, comme nombres de permutations, jouissant de certaines propriétés, s'est gravée dans mon esprit.

Je travaille à ma Thèse Élude de quelques séries semi-com'ergentes, en deux mois j'espère l'avoir finie. Vous voyez, par là, que j'ai abandonné ma première idée. En elfel, d'un côté, j'étais peu content de certaines parties et, de plus, j'avais vu que le

LETTRE 88. iSl

sujet comporte encore de grands développements que j'entrevois un peu, mais qui demandent encore beaucoup de travail. En m'indiquant, l'an dernier, un Mémoire de Cauclij sur les fonctions réciproques, vous m'avez mis sur la voie des questions nouvelles qui se sont [)résentées à moi. Vous voyez, par là, que je dois encore remettre à quelques mois l'étude du Mémoire de M. Gegenbauer que vous venez de m'indiquer, malgré l'intérêt qu'elle m'inspire.

Ma Thèse contiendra beaucoup de choses (pii vous intéresseront bien peu. Ce qui vous plaira peut-être le mieux, c'est que j'ai l'idée d'une série semi-convergente pour Tiai) a réel très grand ou plutôt de \o§T(ai).

La définition de Gauss

g '/' lu.' "

r(ai) = ■ — : ; — in = oc )

ail I -I- a/ ) I I H -)•••(

montre de suite qu'en posant

r{ai) = R( COS0 -I- i'sinO ),

on a

c'est-à-dire et

6 = a Iog« qz lire tang« — arc tang . . . — arc tang in = x),

OÙ l'on doit prendre le signe supérieur ou inférieur, selon que a est positif ou négatif et les arc tang compris dans les limites dz -•

Vous voyez que

logTi ai ) = logR -h ië

et la série semi-convergente est celle de Stirling appliquée à des valeurs imaginaires. Quoique celle idée de considérer, dans la série de Stirling, des valeurs imaginaires est bien simple et que je lai eue depuis longtemps, sans la développer pourtant suffisamment, je n'ai pas vu qu'on l'ait eue déjà. Pourtant, il m'est difficile de croire qu'elle soil nouvelle. Je me rappelle aussi que

i8i correspondan(;f. d'iiermite et de stieltjks.

Gauss a calculé (je crois) ( ') la valeur de n(f) = r(n- i) en la déduisanl de n(io + f), celte dernière quanlité étant obtenue à l'aide de la série de Slirling.

L'observation que

mod V(ai ) =

et la formule de Binct

logr(a) =.(« — -] loga~« + Iogv/-2--+- - j e<^^ ^^

dx

(p. io4 de voire Cours, second tirage) donnent lieu à cette conséquence

ce qu'on trouve aussi facilement à l'aide de

(p. loi de votre Cours) et

/ -:; T% dx = —r e-"* ( 6 > o, a ^ o ).

Tout cela est si simple que j'ai peine à croire que c'est quelque chose de nouveau.

Veuillez accepter, Monsieur, la nouvelle assurance de mes sentiments de reconnaissance et de profond respect.

(') Note des éditeurs. — Gauss {Werke, l. III, p. 280) a donné, dans un allier de ÎNJotes, la formule

Ili =^-H Oj^gSoiôC) — <i, ij'i94'j*J '•

LETTRE 90. l83