STIELTJES A H ERMITE
Toulouse, 3 février 1887.
Monsieur.
Vous avez poussé vraiment Irop loin votre bonté en m'envojanl le fascicule des Mathematische Annaleii qui contient l'article de AI. MarkofT, et, en vous le renvoyant, je ne saurais tro[) vous remercier.
J'ai vu c[ue M. Markoff établit aussi et pour la première fois, dans son article, la limitation plus étroite des racines X„= o que je vous avais communiquée.
Mais la démonsti'ation que j'ai développée pour les ActaMatliematica est différente de celle de M. Markofi".
Il me semble que la fonction
où a est une constante réelle, fournit un bon exemple pour l'application du théorème de M. Mittag-Leffler. Je trouve
La fonction entière (j'(x) change brusquement de valeur avec a :
ainsi
0 < a < I, Cj'(a7 ) = o,
si l'on développe le second membre de (A) suivant les puissances croissantes de x (en supposant o <;a<<i) et qu'on compare le résultat obtenu avec la formule
= a -ir '-Oiiajx -^^ o^{a)x^
2o6 COIIRESPOXDANCK d'hEKMITE ET DE STIELTJES.
qui sert de définition anx polynômes de Bernoulli cp, ( «), '-^-lici). {Jordan, t. H, p. 102), on obtient
(?2/Aa) = (— I )'''+i > —7 -7—7
cp.2/,,(a) = (— 1)^
ce sont les développements des poljnomes o en séries de Fourier qu'on trouve dans le Tome II du 7/aité de Schloniilcli.
On peut considérer (A) aussi sous le point de vue d'une série de Fourier, mais cela suppose x réel et ne donne pas le vrai caractère de cette formule. Mais de cette manière ces discontinuités pour « = o, a = i rentrent bien dans le type de celles qu'on rencontre à chaque instant dans la théorie des séries trigonomé triques.
A côté de la fomnule (A) on peut mettre les suivantes qui donnent lieu à des remarques analogues :
rosi.r r v^ ( — aV'-'^'îx cos on- , .
sin.r X ^^ n--- — x-
sin.r ^ad n-T.- — x-
cosbx V7 ( — iV'~'i''>,/t — T)TCo?f« — ^)h- ,
cosa: .L^ i „ ' )2 7^2 ^2
sin^;.r -^ (' — iV'-i 2 3? sin ( « — i)^- ^ , ,
COS.r Xd (^/j 1)2^2^2
si la constante réelle b ne se trouve pas dans l'intervalle indiqué, il faut ajouter à droite une fonction entière dont on trouve la foruK; immédiatement.
INIais, à vrai dire, ces quatre formules peuvent se déduire toutes de la Jbrmule (A) qu'on peut regarder comme la principale.
Mais en voilà bien assez sur un sujet élémentaire.
En vous [renouvelant, Monsieur, mes remerciements pour toutes vos bontés, vous voudrez bien me croire votre tout dévoué.
107 — HERMITE A STIELTJES.
Paris, 18 février 1887.
Cher monsieur Stieltjes,
J'ai été bien empêché de Lravailler pendant ces dernières semaines et je viens bien tardivement vous dire que vos applications du théorème de M. Mittag-Leffler m'ont beaucoup intéressé,
surtout la première concernant la fonction — Les autres
, . , cos^.r s\nb.x concernant les quantités —. ? —. :. ••• sont certainement
importantes, mais Legendre les a déjà données, avec la détermination de la partie entière, dans les Exercices de calcul intcgral, page 169 et 170 (5^ partie, § II). Si ce n'est pas abuser de votre complaisance, je vous serais bien reconnaissant de me donner la matière d'une leçon à la Sorbonne, en m'indiquant
l'analyse que vous appliquez au premier cas de — ^ De|)uis
longtemps, j'avais remarqué que, en considérant — , il semble
absolument impossible de parvenir à la détermination de la partie entière, ce qui doit faire mettre d'autant plus de prix au cas où, comme dans le vôtre, elle s'obtient facilement.
Cette année, je me propose d'insister sur la détermination des intégrales au moyen des coupures, en utilisant les exemples faciles qui se trouvent par d'autres méthodes, par exem|)le
dx.
I e'"^x cot ( dx, I -. —
Une petite remarque à ce sujet : Supposez l'entier ni et z un [)oint situé au-dessus de l'axe des abscisses, on aura
2 Tt
gmix col ^ 1 dx = 4 i-e""'
et, pour /li = o, tandis que
cot dx
cot ( — — ^ ] dx = o
208 CORRESPONDANCE D'HEUMITE ET DE STIELTJES.
Cela étant, j'envisage la formule de Fourier écrite ainsi :
ou
'^{x)= iAo-H^^A-,,,*--'"
\ ous voyez que Ton a
f(x)col dx =■ —-^oiz)
|)oiir tout le demi-plan au-dessus de l'axe des abscisses. Au-dessous, on trouverait pareillement
En vous renouvelant, mon cher monsieur Stieltjes, l'assurance de mes sentiments affectueux et bien dévoués.
