STIELTJES A H ERMITE

Toulouse, 19 février 1887.

MoNsiEur. ,

Vous trouverez ci-joint l'analyse cjue j'ai suivie pour obtenir la

décomposiliou de — et je m'estime heureux si je peux vous

être agréable de cette manière.

Comme vous verrez que je n'ai rien fait que suivre votre Douzième Leçon (p. 92 et suiv.).

11 m'avait frappé que, pour obtenir la décomposition de cot.r, vous ne considérez pas directement

dz

col G

mais

cot-: dz

rcolz dz

C'est évidemment afin de démontrer plus facilement

r cnt z dz iim / = o,

ce qui réussit maintenant à l'aide de la formule de M. Darboux. Ce qui est un peu artificiel dans mon analyse, c'est cette supposition

hm - = o,

mais, sans cela, on ne trouverait pas si facilement que

lim^'^iiC— lim5DA= o et aussi dans le cas a = 1 ou « = o

\\m-S = -1 ou •

Du reste, j'ai peine à croire que la formule obtenue soit nouvelle, mais peut-être n'a-t-on pas insisté sur son vrai caractère. Les formules

■2 e\ii — e-Xn 2X [2+ X- 2^-1- ).2

•71 gXx — e-).x [ v.\\\x 2 sin 2.r 3 sin3^

I — TZ <C X 'Ci'K)

jATt e-Xn 1 2 -f- X 2 22 j^\-i 32 ^ ) 2

(p. 142, 143 du tome II de M. Schlomilcli) qui se trouvent, je crois, dans Euler, reviennent au fond à la même chose, mais M. Schomileli les obtient comme application de la série de Fourier; x est la variable principale et k une constante réelle.

Mais je troiive très remarquable que Legendre, en donnant les formules pour ,

cos , . bx

cos sin "

ait déjà songé à voir comment il fallait modifier ces formules dans le cas que b n'est plus compris entre nri, et je dois vous bien remercier de m'avoir indiqué ce passage des Exercices.

Votre détermination des deux parties <^{x) et '^{x) d'une fotie-

2 10 COIIRESPONDANCE D IIKRMITE ET DE STIELTJES.

tiony(^) à laide de l'intégrale

/(>)col( ^^^^ ^ ) dz

me semble très singulière. En efl'et, une fonction réelle /"(^j étani donnée arbitrairement entre o et 27:, il n'est pas possible, en général, de l'étendre ])Our des valeurs imaginaires de la variable. Mais votre formule montre que les parties es et 'h existent chacune dans la moitié du plan! C'est un résultat dont je dois chercher à me rendre compte.

Je crois me rappeler vaguement que M. Poincaré a annoncé quelque part un résultat qui doit avoir un ra])|ioit intime avec cela.

A -roccasion de cette détermination d'intégrales au moyen des coupures, permettez-moi. Monsieur, de vous signaler une petite difficulté que j'ai rencontrée dans votre Cours. Vous considérez, page 143, l'intégrale

* ( s ) = / fyl—z)dt

et vous trouvez

*fN) — *(N') = - liT.K.

Mais la démonstration suppose essentiellement tpie a et |j sont finis, car, sans cela, les intégrales

page 142 n'ont pas de sens.

Lapplication (p. i44) à un cas où a^ — co, ^ = + oc est donc sujette à une petite difficulté. En étudiant votre Cours, je n'avais j)as fait cette remarque, mais, au moment où j'exposais cela dans mon Cours, je m'en suis aperçu et cela ma brouillé un peu.

J'espère sincèrement que la démarche faite auprès des autorités suédoises aura le résultat désiré.

\euillez bien agréer. Monsieur, l'assurance de mes sentiments res])eclueux et dévoués.

LETTUE 110. 21 î