STIELTJES A HERMITE

Toulouse, le 17 juin 1888.

Monsieur,

Je suis extrêmement heureux d'avoir reçu votre lettre qui me montre de nouveau votre amitié qui m'est si précieuse. Mais, monsieur, il y a dans votre lettre un passage qui m'a vivement ému et que je ne peux pas laisser sans réponse. Vous dites : « Je crois bien aussi avoir rencontré autrefois comme conséquence de la relation qui lie nne forme biquadratique avec ses covariants du sixième et du quatrième ordre une substitution qui ramène l'intégrale elliptique générale à la forme cjue vous considérez

du

et peut-être y aurait-il utilité à la rapprocher de celle dont vous faites usage

Or, Monsieur, je suis sûr d'avoir dit expressément dans ma

lettre que j'ai emprunté à vous cette substitution 11= —• Mais,

Monsieur, c'est un résultat classique, aujourd'hui, comme du reste tout ce qui se trouve dans ces beaux Mémoires du Tome 52 du Journal de d'elle. Et je crois que si mon travail a quelque intérêt ce sera surtout à cause de ce qu'il éclaircira un peu la

nature de cette substitution u ^= ;^«

Je me propose de faire un exposé un peu complet de mes recherches et comme nos Annales sont aussi destinées à des lecteurs qui ne peuvent pas se procurer facilement tout ce qui se publie en France et à l'étranger, je donnerai quelques développements, sans crainte de répéter des choses qui sont, il est vrai, bien connues, mais qui me sont nécessaires.

Le seul travail sur lequel j'avirai à m'appuyer seront vos Mémoires sur les fonctions homogènes à deux indéterminées. La raison en est que je ne peux m'empêcher de regretter que si cer-

tains résultats de ces Mémoires classiques sont répandus maintenant dans les livres élémentaires, comme celui de M. Salmon, on a en général peu reproduit vos démonstrations et enfin les idées qui s'y trouvent. Ainsi, par exemple, la démonstration de la relation

est souvent donnée simplement par une vérification opérée sur la forme canonique de y. Je trouve aussi dans vos Mémoires, déjà, la notion des invariants et des covariants irrationnels, comme, par exemple, les racines 0 de l'équation résolvante

Dans ces dernières années, un jeune géomètre allemand, M. Hilbert, de Konigsberg, a repris cette idée des invariants et covariants irrationnels, et il y a consacré un Mémoire étendu dans le Tome XXVIII des Math. Annalen. Je pense que M. Hilbert ne vous est pas inconnu; j'ai aussi fait sa connaissance à Paris en 1886.

Naturellement, comme professeur, j'ai dû étudier aussi un peu les travaux d'Algèbre de Glebsch, Gordan et de leurs disciples, pour en avoir au moins une idée sommaire. Mais s'il est incontestable que, par exemple, le théorème de Gordan est tout à fait fondamental, je ne peux m'empêcher de croire que ces théories-là n'ont pas encore reçu leur forme définitive, — il me semble que le formalisme (oppressant pour moi) a bien besoin d'être vivifié par des idées.

Vous m'annoncez l'envoi d'un fascicule des Rendiconti de Païenne et je dois vous en bien remercier, mais prol)ablement pour m'engager à y souscrire, on m'a envoyé justement deux fascicules de ce Recueil où l'on trouve l'article de M. Halphen. C'est même un peu par cetarticle que j'ai été conduit à me poser la question d'une autre manière.

Il est évident par là que mon travail n'est pas la reproduction de celui de M. Halphen. On pourrait le considérer comme une continuation et une généralisation de ce dernier.

Votre très dévoué et respectueux.

Paris, 19 juin 1888.

Mon cher ami,

Je mérite grandement les reproches que vous me faites; je me les suis adressés moi-même après vous avoir écrit lorsque peu à peu be sont réveillés les souvenirs de mes recherches d'Algèbre qui remontent à plus de trente ans. Mais vos reproches ont si peu d'amertume qne je ne m'engage nullement à ne pas bien d'autres fois les encourir, en écrivant rapidement, sans beaucoup réfléchir. Lorsque j'ai abandonné mes études sur les formes pour m'occiiper de la transformation des fonctions abéliennes du premier ordre, l'avais entrevu quelque possibilité d'étendre aux formes à trois indéterminées, la méthode qui m'avait conduit aux lois de réciprocité pour les formes binaires. C'est dans la dernière ou Tavantdernière année du Journal de Cambridge et Dublin que j'ai exposé mon procédé et dans l'espérance que vous ferez ce que je n'ai pu faire, que vous entrerez en pleine et complète possession de ce que j'ai seulement entrevu de loin, je viens vous prier de jeter les yeux sur cet ancien travail, le plus étendu de ceux que j'ai publiés sur la théorie algébrique des formes. Vous connaissez certainement et vous admirez comme moi le Mémoire de M. Salmon sur les formes cubiques à 4 indéterminées. Vous aurez remarqué le complet parallélisme entre les covariants et les contravariants de la forme considérée qui m'a extrêmement frappé; j'en lirais l'induction qu'il doit y avoir une liaison analyti(}ue qui associe nécessairement à tout covariant un contravariant de même ordre, et en me bornant aux formes ternaires, c'était cette liaison ciue je voulais d'abord découvrir. Il me semblait qu'en étendant aux formes ternaires les transformations en symboles dont j'avais fait usage pour les formes binaires, le lien cherché apparaîtrait, de sorte qu'à la fois on aurait une loi spéciale de réciprocité interne entre les covariants et les contravariants et la généralisation de la loi de réciprocité que j'ai obtenue entre les covariants et les invariants des formes binaires. Vous me dédomuiageriez, mon cher ami, et vous me feriez oublier le regret de n'avoir point jiersévéré dans

cette voie de recherches, si vous vouliez bien avec votre don d'invention, ingeniam divlno dono aureuni^ vous j engager et la suivre.

En attendant que vous vous décidiez à entreprendre la conquête des lois de réciprocité interne et externe, je vous fais mes compliments, parmi bien des choses intéressantes que vous m'avez communiquées, en particulier pour l'équation

Y II i — X Hj, = cm p -^ qx -\- xf -^ sry)

qui me semble extrêmement originale. Et je ne saurais trop vous encourager à écrire pour les Annales de Toulouse un Mémoire où la concision ne nuise pas à la clarté et qui n'exige point pour être compris cette attention fatigante qu'exigent les notations par trop condensées de Clebsch, dont l'usage est malheureusement si général. Je ne reno'nce pas à peut-être ajouter quelques remarques à vos recherches, ajant fait l'année dernière pendant les vacances quelques petites choses dans un domaine voisin. Mais, en ce moment, il me faut envoyer un article à V American Journal^ et je ne suis occupé que des développements en série, suivant les puissances de <7, des quantités ^//i, s/ k' et {/kk' . A l'égard de cette dernière, j'ai remarqué qu'ayant

ou bien

on en conclut l'expression

o\x f[n) est le nombre des solutions de l'équation dont je vous ai

parlé

Cj + 3 C2 H- 5 C3 -1- . . . 4- ( -2 V — \)c^— n.

On a pareillement

où /, [n) est le nombre des solutions de

Cl -1- 3C2-4-. . .+ (2v — i)Cv-t- 2[ci -h 3c2 -h. . .4- (av — i)c'^] — rt,

Vous savez que ce dernier développement joue un grand rôle dans le beau Mémoire de Sonhke (') sur les équations modulaires que je recommande à votre souvenir. De vous je dirai ta magnus eris ApoLlo, lorsque vous aurez pénétré le mécanisme caché, mystérieux de la disparition des coupures, dans leur premier membre, et j'ai confiance que vous réaliserez mon espoir.

Avec tous mes vœux, mon clier ami, pour le succès de vos efforts et de vos travaux, et en vous renouvelant l'assurance de ma bien sincère et cordiale affection.

P. S . — Ne vous pressez pas de me renvoyer le rendiconto cjue j'ai eu tort de vous adresser, je n^en ai aucunement besoin maintenant.