HERMITE A STIELTJES

Paris, 17 juin 1888.

jNIon cher ami.

C'est à moi de m'excuser du retard que j'ai mis à répondre à vos deux dernières lettres et surtout à vous exprimer combien je suis

LETTKE 1*23. 287

heureux que vous ayez réussi à surmonter votre chagrin en vous remettant au travail. La question que vous avez traitée est d'un grand intérêt et ce me serait un plaisir de m'y engager avec vous, ainsi que vous m'avez vu faire autrefois, quand vous vous en preniez à l'Arithmétique, si je n'étais à bout de mes forces et ayant quelque peine à cause de la fatigue que j'éprouve à en finir avec mes leçons à la Faculté. Au moins permettez-moi, puisque vous vous proposez de publier vos recherches dans les Annales de Toulouse, d'appeler votre attention sur un excellent travail de M. Halphen sur le sujet que vous avez traité, qui a paru à l'étranger dans les Rendiconti du Cercle math'nnatique de l'Université de Palerme. Je vous envoie le numéro de ce Recueil que vous ne recevez sans doute pas, pensant qu'il devra vous intéresser. Il me semble qu'il y a quelque analogie entre ce que fait M. Halphen et votre méthode extrêmement ingénieuse de conclure une solution

particulière de 1 équation -^ = -~ de 1 égalité ^ := -y^- Je crois

bien aussi avoir rencontré autrefois comme conséquence de la relation qui lie une forme biquadratique avec ses invariants du sixième et du quatrième ordre une substitution qui ramène l'intégrale elliptique générale à la forme que vous considérez

du

y/4 "* — Sa — ^ T

et peut-être y aurait-il utilité à la rapprocher de celle dont vous faites usage u = ^- Je la rechercherai dans mes anciens articles sur la théorie des formes du Journal de Crelle, mais elle m'échappe en ce moment; permettez-moi, avant que je la retrouve et si paresseux que je sois, de vous indiquer une conséquence arithmétique de l'équation

Hi(o) = 2t/^"AP2, où l'on a

A = (r — 7'-)(i-5'')... et V = {i ^ q''-){\ ^ q'^). . . .

Si l'on désigne par/(/i) le nombre des solutions en nombres entiers et positifs, sans exclure zéro, de l'équation

(1) a-i-h Zxi-^ 5:^3 + . . .4- {■?.•) — r)^v= «,

OÙ je suppose

je trouve d'abord que Ton a

Cela étant, la fonction numérique /(/?) s'obtient de proche en proche, par celte formule de récurrence

/(n)= f {n — 1) — fi n ~ lo) ^ f{n — %\) — .. . + /(« — 4)— /(« — i4 )-+-/( /i — 3o)—... + + (-!)'-/(« - 3 7-2 + /•)

Le terme s est égal à l'unité ou à zéro, suivant c[ue n est ou n'est pas de la torme •

La même équation donne la relation suivante, à l'égard de la fonction plus complicpiée

où le signe /, se rapporte à tous les systèmes a^i, X'^,^ . . ., ^v fis solutions de la même équation (i). On a alors

au lieu de

fin) =^i- 0'-' [/(« - 3r2+ ,■) +/(n - 3/-2- ,-)] + s

la sommation s'élendant à toutes les valeurs de r telles que l'on

ait, soit

3 /-^ ± r Il — (3/'-± /') ^ o ou bien n — ^o.

L'équation

0(o) = (i-^î)(l-ryi)...[(l-<7)(i-73)(i 5,5)...]2

donne lieu à des conséc[uences analogues sur d'autres fonctions cpii

LETTRR 123. 289

se rapportent à réqualioli ^, + 2^0+ 3^3 +. . .+ «jfrt = /i, mais ce ne sont là que des remarques bien faciles et qui ne me semblent avoir (jue peu d'intérêt.

Dans le même genre, et sans faire plus d'efforts, j'ai complété nn article de M. Hejmann (') dans le dernier cahier de Crelle, en présentant comme il suit la réduction à la forme P + iQ de l'intégrale elliptique

J \/\{x — a — ib)'

où X est un polynôme du deuxième ou du troisième degré à coefficients réels. Le modvile y/(x — a)--\-b'-^ se transforme en une expression rationnelle, en posant

it

or on trouve ainsi

b{t — i)- . dx /b (t + i)dt

X — a — ib =■ —- — nuis = — 4 / - ^ ;£: — .

2^ s/x — a~ib V 2 t^t

Désignant par — ou — > suivant que X est du deuxième ou du

troisième degré, la transformée de X par la substitution considérée, j'obtiens

f) dt

ou bien

i)dt

C'est le résultat bien connu de Jacobi qui se trouve ainsi fort simplement.

En vous priant, mon cher ami, de vouloir bien faire parvenir à M. Baillaud mes remercîments pour l'envoi qu'il m'a fait d'excellents Mémoires, où j'ai vu avec grand plaisir le concours analytique que lui a prêté M. Tannery, et en vous renouvelant l'expression de mes sentiments de Ijien sincère affection.

(') Note des éditeurs. — L'article de M. Heymann est inséré au Tome 103 du Journal de Crelle, p. 87-88 (1888).

24o CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELTJES.