STIELTJES A H ERMITE

Toulouse, le 17 octobre 1888.

Cher Monsieur,

Votre lettre me cause un peu d'embarras, voici pourquoi. Comme le résultat du calcul de M. Bourguet ne me semblait pas satisfaisant, j'ai l'cpris ce calcul, en calculant aussi de nouveau l'expression approchée de c«.i. Mais mon résultat

ne diffère pas du vôtre

ç/i + log|

Ca-\ =

car, à cause de n ^\ l*^»?' ^^ ^ e"= ç^. Je me suis donc trompé en disant que j'avais obtenu une autre formule. . ., le résultat de mon calcul numérique différant assez sensiblement de celui de M. Bourguet, j'ai cru à tort qu'il devait j avoir quelque erreur dans votre formule; l'erreur était dans le calcul de M. Bourguet. Comme cela doit être, on a. . .

lim -^ =0 et ... (1)

limite zéro.

J'ai fait encore le calcul pour /i = 1 1 et 1^ :

n := 1 1, î = 0,089 1 13 9 Valeur approchée. . 0,00000018993 ) Table B 0,0000 0019 agi \

Il — i~, ^ = 8,118 073 7 Valeur approchée . . 0,000000000001 417' Table B 0,0000 0000 0001 4^47

Du reste. . . je vais faire le calcul pour les huit valeurs

(') Un coin de la IcUre de Sticltjes est dcchiré.

11 se pourrait bien que la valeur approchée calculée pour /i = i8 soit plus exacte que celle qui figure dans la table de M. Bourguet, quoique j'ai beaucoup de peine à admettre que les nombres de M. Bourguet puissent être en erreur de loo unités — cela ne doit pas être.

Maintenant, Monsieur, je me sens un peu coupable de vous avoir donné l'espoir de pouvoir vous être utile dans cette occasion. Vous vojez qu'il n'en est rien. J'espère que vous voudrez bien m'absoudre, si je m'engage à vous envojer, dans quelques jours, un Mémoire sur le développement de l'expression ( ' )

[i — 2/-(cos II cos II' cosx -+- sin a sin ii' cosj') -+- /•-]-'K

Je n'ai jamais rien publié sur cela que la courte Note dans les Comptes rendus (1882). Ce travail me reste cher toujours, parce qu'il a été pour moi l'occasion d'entrer en relation avec vous et avec M. Tisserand. J'en ai remanié au moins vingt fois la rédaction, en y ajoutant des tables assez étendues. Mais j'ai (ini peut-être par donner plus d'étendue à ces calculs numériques que cela n'est raisonnable et la suite en est que ce travail reste toujours inachevé. Mais je veux faire maintenant simplement un article théorique. Je pourrai donner plus tard mes tables dans les Annales de V Observatoire de Toulouse avec une courte explication; elles seront là aussi mieux à leur place. Vous voudrez bien, n'est-ce pas, recommander ce travail à la Ijienveillance de M. Jordan.

Je vous enverrai en même temps le résultat de mes calculs pour w = 1 1, 12, . . ., 18 dont vous pourrez faire l'usage que vous voudrez.

Je vous renouvelle, Monsieur, l'assurance de mes sentiments très dévoués.

P. S. — Je vous envoie en même temps ce que j'ai écrit sur -— -.

J'avais déjà rédigé la seconde partie, mais je crois qu'il sera possible de donner à mon résultat une forme beaucoup plus élégante (analogue à l'intégration de l'équation d'Euler). Je me propose

(') Note des éditeurs. — I^e Mémoire dont parle Stielljes a paru dans le Tome V de la 4° série, p. 55-65, du Journal de Liouville (1S89).

donc de trouver cela d'abord et cette seconde partie se fera attendre encore un peu pour cette raison. En ce moment je n'ai pas pu rc'flécliir sur votre théorème concernant (/«)«.