STIELTJES A HERMITE
Toulouse, lo 18 octobre 1888.
Cher Monsieur,
Le calcul numérique de votre expression approchée m'a conduit à un résultat surprenant :
Soit (ca) \otre valeur approchée de ca; voici alors le résultat :
Cq
Ce =
Ci =
Cio =^
Cll = Cl3 = Ci4 =
D'après les \aleurs donnée
Cl5 = ClC =
mais cela indique sans aiicu dans le calcul à partir de Cfs,
Cq) X I ,038-, Ci) XI jOS'iS, C2) X i,o3r2, c-i) X 1,0277, cv) XI ,0249, C5) XI ,0226, Cg) X I ,0^08, C',) XI ,0192, cg) X 1,0179, C9) XI ,oiG8, c,o) X i,or")8, Cil) X 1,01 Jo, C12) XI ,01 l'i, C13) X I ,oi36, C14) X 1 ,0128.
par M. Bourguet, on aurait
C15) X I ,Ol32,
Cie) X i,oo)4, C17) XI ,o6Gj,
doute qu'il s'est glissé une erreur ... Je vais iej)reiidre le calcul de C| 3, c,c, c,7, ... d'après les données de ]M. Bourguel dans son Mémoire. Si vous jugiez opportun de Tavertir, il pounail pcul-ètrc faire ce calcul ((pii est \ilc terminé) mieux (pie moi. . ., car il a \raisembla-
LETTRE i?>0.
hlcmeiil faille calcul avec un ou deux chiffres de plus qu'il n'en a donné.
Voilà certainement un curieux résultat, que votre formule approchée indique clairement une erreur clans les tables! !
Je travaille à mon Mémoire.
Votre tout dévoué.
Je crois qu'il sera bon de reprendre aussi le calcul de C13 et Ci -, . . ., cjuoiqu'une erreur ne soit pas clairement indicpiée ; C| /, parait un peu suspect.
STŒLTJES A IIERMITE.
Toulouse, le 19 octobre 188S.
Cher Moinsieuh,
Je viens de refaire le calcul des Cq, . . ., C|-, mais en supposant que les valeurs des Bj
r(.r + ^) = l-H Bj.r + B,^?^-!-. . .,
données page 29 1 soient exactes. Voici les corrections dont ont besoin, dans cette supposition, les valeurs des c< :
Cq..
Co . .
' Cg..
Après ces correct
fo =
(co) X I
(Ci) XI
Cî =
Ci =
(Ci)X T
( Co ) X 1
(Cg) X
Cl, ..
Cl3--
Cl6--
ClO.-
unîtes dernière décimale.
Co = (C'j) X 1 ,0168 Cio= (cio) X i,oij8 Cil = (<'ii) X ( ,oi5o
Ci2= (C12) X 1,0142 Cl:i= (C13) X I,Ol36
C\k = (cii) X I ,oi3o
Clo= (Cis) X [1,0121]
Ci6= (cie) X [1,0145] Cl- = (cn) X [1 — 0,0095]
Ancicnnemenl.
I ,Ol32
1 ,oi54 1 ,oGG3
Valcii I s qui semblent exijjéos par la marche
(le lu foiiclion.
2j8 COIIUESPONDANCE D IIKRMITK ET DE STIELTJES.
]1 y a une amclioralion, mais la ^al('Llr pour c,^. .. reste légèrenicnl erronée... et la même chose, à plus forte raison, pour Ck, et c,7.
En adoptant pour Cf- le facteur i,oi i6 il vient
<^17 =^ <),0I)00 OOOO ()()()(> I72I f( fi7 ) = . . . 1 701],
a\ec une erreur certainement inférieure à i unité (car le facteur ne peut pas être en erreur de 0,0006, j'estime). La valeur de M. Bourguet est
c,7 = o,. . . i(Si /j Valeur exacte : 1721 Erreur : 93.
Après ma correction de — 129
Ci7 =",••• iOSj ^aIeur exacte : lyn Erreur : 3G.
Inapplication de ma correction a donc diminué Terreur, mais toujours la différence de 36 est un peu forte. Du reste, je me suLs convaincu encore d'autre manière [en posant ^ =1 — i dans la série
et en comparant avec la valeur exacte de Q( — i)] qu'il existe même après mes corrections, des erreurs assez considérables. Je crois qu'il reste encore des erreurs d'une centaine d'unités. La cause de cela doit être que les coefficients B sont entachés d'erreurs de cet ordre. Vous voyez que déjà pour /i = 18. . . ce n'est pas la table qui peut juger de Tapproximation de AOtre formule, mais récipro- ([uement cette formule donne la valeur exacte et met en évidence l'erreur de la table.
Mais ce qui vous fera plaisir (comme moi), c'est de voir avec quelle fidélité votre formule représente les Cn à partir de Cq même! Pour n = i, 2, ^ est plus petit que n; évidemment cela reste vrai tant que n << e. IMur « = 2, ^= n = e. Une autre fois, lorsque j'aurai le loisir, je me {ii^opose d'interpoler et de prendre, par
exemple, n = 3^^; c„ , = =-7 — r / (\oi2;x)" e~^' dx. Je ne doute
^ ' - ' r(/i -i-ij J^ ^ ^ ^
])as que le facteur ne tombe entre
1 ,o3ri et I ,o>>-7.
Si, pour la comparaison de votre formule approchée, vous désiriez les valeurs numéricpies des (c„), elles sont à votre disposition. Mais, à proprement parler, il me semble que le rapport c,i \ (c,j) met mieux en évidence la marche de l'approximation.
Votre sincèrement dévoué.
