V. y II. -^Y 11 -^ l

L'intégrale proposée est évidemment eom])rise entre ces deux quantités et l'on peut écrire

■î./i.Cy...in ^/^(,j,£|

la quantité £ étant inférieure à -• Que je serais content si cette

formule pouvait vous allécher et vous donner la tentation d'en trouver une semblable pour c„, !

J'ai immédiatement écrit à M. Jordan pour lui demander de publier dans son Journal votre Mémoire sur le développement de

[i — 2/-(cos«< cos«' cosa? -f- sin ?^ «in it sinjK) -t- /"-] ^,

et je lui ai assuré cjue rien au monde ne pourra lui être plus agréable que d'avoir à sa disposition un travail important de votre part. Votre méthode pour parvenir aux résultats de M. Tisserand est un vrai bijou; en m'écrivant pour la première fois lorsque vous me l'avez adressée, vous m'exprimiez une sympathie qvii a été bientôt partagée, qui n'a fait qu'augmenter et que je garderai toujours. Je n'attends pas la réponse de M. Camille Jordan, pour vous dire sans tarder que je vous suis bien reconnaissant de la peine que \ous allez prendre de calculer pour /i = i i , 12, . . ., 18 la formule qui donne Cn-{- Ne vous préoccupez point de {m),,; c'est peu de chose comme vous allez voir. En désignant le plus grand commun divi-

seur de m et n par 0, on peut faire 0 = /?? . A. + « . B, A et B étant entiers; multi[)liez maintenant les deux membres par

vous en conclurez immédiatement l'égalité

dont le second membre est un entier E. On a donc, en multipliant par ni

(/»)„. 0 = m . L ou ( m )„ = -^- L

et de même l'autre théorème.

Je vais maintenant corriger des compositions de baccalauréat.

En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mon afiection bien dévouée.

Paris, dimanclie (21 octobre 1888) (').

Mon cher ami,

Je vous apporte ma contrd^ntion à la question en me proposant d'ajouter un second terme à l'expression asympto tique de Cn^\- Voici d'abord une remarque algébrique à laquelle conduit la méthode de Laplace dont je vais faire usage. Soit

( .r ) dx

l'intégrale proposée en supposant que la fonction f{x) sannule aux deux limites a et b et n'ait, dans l'intervalle, qu'un seul maximum correspondant à la valeur x ^\. En posanty(a;) =y(^).e~'', puis .r = ^ 4- ^, le développement en série suivant les puissances

(') Note des éditeurs. — Nous avons cru devoir fixer la date de celte lettre au 21 octobre 1888 qui correspond au dimanche compris entre le 19 et le 22 octobre.

202 <;ORm;Sl'ONDANCE d'hEUMITK KT IW. STIELTJES.

de z^ et l donne, à cause de/'(;) = <»,

ou bien On en tire

et la remarque algébrique consiste en ce que, si l'on remplace / par/", le coefficient de t"^ se reproduit divisé par \J n"K L'application au cas de

conduit à un calcul prolixe et fatigant auquel j'ai renoncé; j'ai préféré employer les coefficients indéterminés en posant

ce qui donne

.1 — 6'--<; log" :,\i -AiM -^

ou plutôt

J — e'-''^- log" ; \/t. . oj ( i

) tu ■1 (O

Maintenant, j'obtiens ces valeurs

').n\ 3co" ■i/i^+ ()/i^ç + i6n-ç--f- G/iç^-t- i^''

Ayant ensuite

en négligeant dans l'exponentielle les termes en — > on en conclut la formule cherchée

ou bien

LETÏIJE 138. 203

Celte expression se simplifie et une réduction facile donne

C'est ici que je viens implorer toute votre charité, pour savoir si la fjuantité à laquelle j'arrive

ou sensiblement, pour de grandes valeurs de ;,

se trouve confirmée ou démentie par vos calculs.

M. Jordan a dû vous écrire pour vous téuioigner sa satisfaction de pouvoir publier le INIémoire dont vous m'aviez chargé de lui demander l'insertion dans son journal. En attendant votre réponse et vous priant de m'autoriser à publier tous vos nombres, dans ma prochaine Note, je vovis renouvelle, mon cher ami, l'assurance de mes meilleurs sentiments.