IIERMITE A STIELTJES

24 octobre 188S.

Mon cher ami.

Vous avez parfaitement raison, j'ai commis une inadvertance en remplaçant in--\- 'j n\-\- \o^- par (/i + ^) (2/1 + 5^), c'est un service que vous m'avez rendu de m'avoir fait reconnaître mon erreur, et je viens vous en remercier ainsi que des applications numériques que vous avez bien voulu faire et dont je vais me servir, dans un petit article destiné au Journal de M. Jordan. Vos calculs en feront le principal intérêt, et j'espère, grâce à vous, qu'on ne verra pas sans quelque plaisir comment la formule de Laplace donne, dans la circonstance, une approximation qu'on ne pouvait vraiment pas attendre. Conformément à vos intentions, j'ai fait part à M. Bourguet de votre désir de lui communiquer les calculs que vous vous proposez d'entreprendre pour la revision des dernières décimales des coefficients B/^, afin qu'il les compare à ses opérations, ce qui donnera le meilleur moyen de remonter à la source des minimes erreurs de ses Tables.

Lundi dernier, M. Bertrand m'a communiqué une lettre de M. Bosscha, qui a eu également la bonté de m'écrire, au sujet de l'envoi du premier volume des Œuvres de Christian Hujgens. Je n'ai point à regretter, mon cher ami, d'avoir eu recours à votre bonne obligeance, et vous aurez rendu service à d'autres encore qu'à moi.

Encore un mot sur l'application à la fonction Çl{x) d'une belle méthode de Laplace. Peut-être avez-vous vu, dans le Tome 90 de Crelle, une lettre de moi à M. Schwarz, où je donne une expression analytique de cette fonction dans laquelle figure la quantité B(^). M. Hjalmar Mellin (•), dans le Tome II des Acta, a obtenu, en suivant la même marche, Tine expression plus simple, à

( ' ) Note des éditeurs. — Ueber die transcendante Function Q(^) = T{x) — P(:r), von Hjalmar Mellin {Acta matheniatica, t. II, p. 23i).

LETTKK 139. 267

savoir :

Q(a:-) = > (— ijAA), ~ ^ W(x — [ — A)

(À = 0,1, 2,...), OÙ l'on a

Ax = / x^e'^' clx

•iJC la: I..

J'ai remarqué que l'analyse employée parLaplace, pour retrouver la limite supérieure de l'excentricité qui assure la convergence de la série déduite de l'équation de Kepler

Il ^^ lit -ir- e sin u.

s'applique très facilement à la suite R(x) et donne un résultat simple; je me propose de vous en écrire aussitôt que j'en aurai fini avec les trente compositions de baccalauréat dont j'ai aujour-

d'hui la charge.

Votre bien dévoué.

Pensez-vous poursuivre l'étude de la nouvelle transcendante

/ e-^ 1 o " " X dx ?

Yia).}.

En revenant à c„i, ou plutôt à l'intégrale

e--'^ lo"";r dx.

je ne puis m'empècher de vous confier tout le chagrin que me cause la substitution e~-^= t; elle donne pour transformée

'\dr, t

011 la quantité sous le signe somme croit de zéro à l'infini, sans maximum ni minimum. Que devient donc la méthode de Laplace? De même encore, dans un cas plus simple

V{a)= I log«-M - )c/,r.

208 CORRESI'OXDANCE u'niiUMITE ET l)F, STIELTJES.

je ne puis absolument comprendre comment cette méthode se trouve à la merci d'une subslilution ; en même temps, je me demande s'il est possible, par une substitution, de changer l'intégrale

où la fonction F(^) est croissante de a à b, en une auli^c où la nouvelle fonction aurait un maximum entre les limites?