H ERMITE A STIELTJES

Paris, mercredi (2(^ octobre 188S) ( ' ). ^loiN CHER AMI,

J'ai réfléchi qu'il n'j a pas lieu de penser à ^érifier par une

(') Note des éditeurs. — Cette lettre n'csl pas datée; le jour où elle a été écrite et le sujet paraissent en indiquer sûrement la date et la fixer au 29 octobre 1888

LETTRE l'il. 269

application numérique le résiillal qui ni'a assez surpris (|uc la valeur asjmptolique de R(.r) coïneide avec celle de 1.2. ..^; on ne peut, en effet, espérer obtenir un accord pour une valeur médiocrement grande de x et, en supposant seulement x = 20, par exemple, les nombres deviennent si grands que c'est à j renoncer. Permettez-moi de vous indiquer mon calcul en vous exprimant mon admiration pour la méthode de Laplace qui est vraiment merveilleuse. Au fond, elle ressemble à celle qu'il emploie pour les intégrales définies, il faut chercher, en effet, dans la série

dont les termes commencent par croître, le terme maximum à partir duquel ils diminuent, en posant la condition

n^ in — r)-^ d'où 1 on tire

Il ~

Prenant n = x, ce terme maximum est

celui qui en est éloigné, de rang t, est ensuite

et 1 on a d'où

logT = x \o<^(x -t- / ) — X - I,

)i:T— loi:» = X loi; ( 1 H ) — / =

'' ' X I iX

et, par conséquent.

Cette valeur est la même pour le terme de rang t qui précède le maximum, de sorte que la valeur approchée de la série sera donnée par l'intégrale

e -■' dl = /> \/'-ijzx = \/-i~:

11 ne me semble pas que la méthode permetle d'essayer d'obtenir une approximation plus grande; aussi, je m'en tiens à ce résultat (lue je vous soumets, en vous demandant si vous croyez c[ue l'on puisse s'y confier. Je l'espère, mais en conservant cpielques doutes, ayant reconnu des cas dans lesquels la méthode de Laplace, appli- <[uée de la même manière, donne une conclusion manifestement fausse, sans que j'aie pu voir à quoi tient que tantôt elle réussisse, tandis que, dans d'autres circonstances, elle induit en eiTCur.

Voici Tun de ces cas : il suffit de chercher l'expression asymplolique du coefficient de x"^ pour n très grand, dans la fonction de .lacobi

Au contraire, le calcul marche admirablement, lorsqu'on traite

la même ciuestion à l'éffard des fonctions sn - — — et en '- 7 • • • ,

et le résultat cpi'on en tire se vérifie complètement et facilement en revenant aux expressions de ces quantités par une série infinie de fractions simples.

Je vais rédiger ma Note concernant C/,, pour M. Jordan.

En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mes meilleurs sentiments.