STIELTJES A HERMITE

Toulouse, 3c octobre 1888.

Chek MoNSrELR,

Je vous suis très obligé d'avoir bien voulu adressera M. Bourguet la lettre qui lui était destinée, pourriez-vous, peut-être, si l'occasion s'en présente, me donner son adresse.

Voici maintenant comment j'ai cherché à me rendre compte numériquement de l'approximation de votre expression

/ — .f + (a) y/'ir.r ^^-.i.-

LETTRE l'i'i. 271

Mais, pour faciliter le calcul, je n'ai pas direclemcnL comparé (7.) à (^), mais d'autres expressions qui en diffèrent peu. Je remarque que (a) est la valeur asymptotique de

r(.r -f- 1 ) = / if'('-" du

ou de

Q(.7- -h 1 ) rrz / ii'e-" du.

La différence Y{x-\-\) — 0(.r + i) est inférieure à ^7-^. ce ([ui est tout à fait insignifiant ici.

D'autre part, je trouxe un peu plus commode d'ajouter à la

série (^) le premier terme — =z - z= a = 0,8678 7944- • ••

Il s'agit donc de comparer

Q(.r H- 1) = / ii'e-" du.

ou, en posant J\ii) = u-^'c~",

/ J\ Il ) du.

Je pose successi\ement

ir = 1 , 2 , 3 , 4 , • • •

cl, à l'aide de

Q(ar-i-i) = a + xQ(x).

j'obtiens

Q(3) = 5a, Q(4)=i6«, Q(5) = 65a, Q(6) = 326a, Q(7)=i957rt, Q(8) = I3 7oo<•^

272 CORRESPO.N'DAM :i: 0 IliaiMITK KT l)K STIELTJKS.

D'à 11 Ire part, on a

R(3) = (a + 4a2^rt3);(,rt)v^

R(6) = (a + 57 a- H- 3o2a3-t- 3o2a'*-4- àjr/^H- c/'' j:(i — «;'',

R(/0=a|^[lU/.-Ml

l'vidciiiment.

J'obtiens ainsi

lU I ):Q(2) = i,25i j,

R(3):Q(4) = i,o2ol.

R(4):Q(5) = i,oo38,

R(5):Q(6) = i,ooo;J76,

J'ai remarqué que, en posant a = — i dans les expressions

( ' ) La convergence si exlrèmcnicnt rapide vers zéro de R(i)-Q(2)

Q(6) «(6) zL9il)

= o,o83 I , = 0,020 5, = o,oo.'i8, = o ,oo()r)-(j,

i>nne lieu à considérer piiilôl la (lidVrencc

En mulliplianl par Q(2), Q(3), .... qui sont approxiinalivemenl égaux

deR(i), Rh) on a

Ri 2n) =0,

Bi = - , B, r= -r-5 Bi = - > • • cLanl les nombres de Bernoulli. J'aurais plusieurs remarques à faire sur vos dernières lettres,

R('3) — Q(3) r^ o,iG6... X

R(3)-Q(4)=o,i23...x ^jV[|y.

où, par exemple,

Il semble donc que ï\{x) — Q(.r + i) décroît à peu près comme — ^! Une

donc que R(J7) — Q(.r + i) helle formule à trouver qui explique cela.

D'autre part, T{x ~{- 1) — 0{x + 1) étant aussi de l'ordre ^ — > il semble plus

naturel de considérer R(^) — r(a; + i)

R(3) — r(4) =+0,0065, R(4) — r(5) =-f-o,oo33, R(5)-r(6)= ?

Sans continuer ce calcul qu'il faudrait reprendre avec plus de soin, il semijle

([ue les fonctions

et r(a7 + i) croissant avec une extrême rapidité sont telles que leur difïérence décroît ou reste très petite.

Je ne poux m'empêclier de rappeler ici ce résultat déduit de la théorie des

274 CORRKSPONUANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.

mais je préfère réfléchir encore un peu, peut-être que je trouve alors fpielque chose de plus intéressant. Avez-vous considéré déjà la (juestion des zéros de la fonction entière Q(:c)?

Je vous renouvelle, Monsieur, l'expression de mes sentiments hien dé\oués et respectueux.