STIELTJES A H ERMITE

Leyde, 16 mars i883.

Je me suis apeixu qu'il s'est glissé une faute dans ma lettre d'hier (-). On a, pour n = ce :

7 — / = 'Og2

X dx 3 r

y /y ^ Ç' xdx^ ^\^J±\

Jmà n (/<—/>-+-!) J^ \ — x ° 3 4

(') Bulletin des Se. mathématiques et astronomiques, 1' série, t. VII, i883, p. 139-141; Sur la théorie des résidus biquadratiques, par M. T.-J. Stieltjes (Extrait d'une lettre adressée à M. Herniite).

(-) La lettre du i5 mars manque. Un extrait est inséré aux Comptes rendus (lu 19 mars : Sur le nombre des diviseurs d'un nombre entier.

LETTKE 10. I I

Je dois avoir indiqué faulivemenl les limites dans ces sommations partielles, et je vous prie de vouloir bien corriger cette erreur, due à cette circonstance, sans doute, que j'avais auparavant nommé /v;, ce que je désigne maintenant par r„/f+, .

Si l'on prend seulement k de ces séries partielles, la somme des termes négligés

reste inférieure à -7 A l'aide de cette remarque, il serait très

facile de donner à ma démonstration une forme tout à fait rigoureuse en laissant d'abord k constant, mais arbitraire. — Les valeurs de /"( i ) + /"(à)4- . . . +y(/?) ont été calcidées dans le temps (en 1876); ainsi :

Soit/? un nombre arbitraire "^ n et posons

Alors

/(■) + /(, ) + ...+/('0=^ Ef!;)+E(^)+...-.E(i')

Pour n = 100 000, ])ar exemple, j'ai pris

jD = 3i6, g = ù\5, et la somme devient

J'avais calculé la somme/(i) -h . . . +f{n) pour n = 1000, 1 00000 pour avoir une idée de la rapidité avec laquelle le rapport

s'approche de Tunité ; les valeurs numériques obtenues m'avaient

r •. /( i)-^. . .-h fin) , , ,1,

tait soupçonner que *^ — log« s approche dune

limite fixe, ce qui se confirmait, comme vous l'avez vu.

12 CORRIiSPONDA.NCE I) IIEItMITE ET DE SIII'LTJES.

J'espère, INIonsieur, que, s'il arrivait qu il vous sérail nécessaire quelque calcul numéri(]ue, vous voudrez bien m'en lionorer. ■V ]>résent, je ne peux poinl faire une chose plus utile et je serai toujours heureux si je pourrai vous rendre quelque service.

V^cuillez accepter, de nouveau, l'assurance de mes sentiments dévoués.